Фамилия Амгашев — редкая, географически привязанная и почти наверняка сибирская. Если коротко: ваш предок, скорее всего, был бурятом или монголом, которого в XVIII–XIX веках записали в православие, образовав фамилию от его имени или прозвища по русской модели. Суффикс -ев (а не -ов) здесь не случаен: он прилип к основе, оканчивающейся на мягкий шипящий «ш». То есть исходное имя звучало как Амгаш, и фамилия отвечала на вопрос «чей?» — сын или потомок Амгаша.

Разбираем корень. В центре — имя Амгаш. Наиболее правдоподобная версия: это русифицированная уменьшительно-ласкательная форма от бурятского или монгольского имени Амга (или Амха). В монгольских языках «амга» означает «рот», «пасть», но в личных именах это слово редко использовалось в прямом значении. Чаще оно входило в состав сложных имён-оберегов, связанных с благополучием или спокойствием. Например, у бурят известно имя Амгалан — «мирный», «спокойный». Амгаш вполне могло быть его домашней, сокращённой формой. Есть и менее вероятная версия: связь с тюркским «амга» (род, клан) или с названием реки Амга в Якутии. Но фамилия, образованная от топонима, обычно получала суффикс -ский или -ов, а не -ев, так что эта гипотеза слабая.

География всё расставляет по местам. Амгашевы — почти исключительно сибиряки. Основной регион бытования — Иркутская область, особенно Усть-Ордынский Бурятский округ, а также Забайкалье. Изредка фамилия встречается у хакасов, но в центральной России и на Урале её практически нет. Это прямо указывает на бурятское происхождение основы.

Социальный контекст типичен для сибирских старожилов. Носители фамилии — потомки коренных жителей Сибири, которые в XVIII–XIX веках переходили в православие. Их прежние имена и прозвища записывали в метрики, приделывая к ним русские фамильные суффиксы. Амгашев — не дворянская и не купеческая фамилия, а крестьянская или казачья. Таких фамилий в Сибири тысячи, и за каждой стоит история целого рода, который сменил веру, язык и уклад, но сохранил имя предка в документах.

Отдельно о произношении. Фамилия устойчива к вариациям: пишется только Амгашев, никогда не Амгашов или Омгашев. Ударение, судя по произносительной норме сибиряков, падает на второй слог: АмгАшев.