Фамилия Амгашев — редкая и географически привязанная. Её основа, скорее всего, тюркская или монгольская, а суффикс -ев указывает на русскую модель образования: «чей?» — сын или потомок человека по имени или прозвищу Амгаш.

В центре фамилии лежит имя Амгаш. Вероятнее всего, это русифицированная форма бурятского или монгольского имени Амга (Амха). В монгольских языках «амга» означает «пасть», «рот», но в составе личных имён это слово часто выступало как часть сложного имени-оберега, связанного с благополучием или силой. Например, у бурят встречается имя Амгалан — «спокойный», «мирный». Амгаш могло быть уменьшительно-ласкательной формой от такого имени. Вторая версия, менее вероятная, — связь с тюркским словом «амга» (род, клан) или с названием реки Амга в Якутии, но тогда фамилия образовалась бы от топонима, что для суффикса -ев нетипично.

Суффикс -ев (а не -ов) указывает на то, что основа оканчивалась на мягкий согласный или шипящий. В данном случае конечное «ш» в имени Амгаш дало именно такую модель. Это характерно для фамилий, которые оформлялись в русской среде, но на основе нерусского имени.

Географически Амгашевы — почти исключительно сибиряки. Основной регион бытования — Иркутская область, особенно Усть-Ордынский Бурятский округ, а также Забайкалье. Это подтверждает бурятское происхождение основы. Встречается фамилия и у хакасов, но реже. В центральной России и на Урале Амгашевы практически не фиксируются.

Социальный контекст: носители фамилии — потомки коренных жителей Сибири, которые в XVIII–XIX веках переходили в православие, получали русские фамилии, образованные от их прежних имён. Амгашев — не дворянская и не купеческая фамилия, а крестьянская или казачья, что типично для сибирских старожилов.

Отдельно стоит сказать о написании. Фамилия устойчива к вариациям: Амгашев, а не Амгашов или Омгашев. Ударение, судя по произносительной норме сибиряков, падает на второй слог: АмгАшев.