Фамилия Амшенников — редкий случай, когда географическое название перешло в фамилию почти без изменений, сохранив иноязычную основу. В её основе лежит этнотопоним «Амшен» — историческая область на северо-востоке Турции, в вилайете Ризе, где испокон веков жили амшенцы, или хемшилы, — армяне, принявшие ислам, но сохранившие диалект и самоназвание. В русской традиции выходцев из этих мест называли амшенцами, отсюда и фамилия: Амшенников — буквально «потомок амшенца», «сын человека из Амшена».

Суффикс -ников указывает на принадлежность по отцу. Модель образования типична для русских фамилий от названий народов или мест: если предок звался Амшенник (так могли прозвать переселенца из той области), то его дети становились Амшенниковыми. Такой способ словообразования встречается у фамилий от более привычных этнонимов — например, Татаринов, Немчинов, Гречининов, но для армянского топонима это уникальный случай. Фамилия не могла возникнуть в самой Турции — она сложилась уже в русской языковой среде, предположительно на Кубани или Черноморском побережье, куда амшенцы массово переселялись в XIX — начале XX века.

Интересно, что в самой Армении носители фамилии Амшенников встречаются редко: в советское время при русификации фамилий армянские окончания -ян часто заменяли на -ов, но здесь мы видим не замену, а полное переоформление по русской модели с суффиксом -ник-, который обычно передаёт лицо по роду занятий или происхождению. Спорных версий немного: иногда основу связывают с диалектным словом «амша» — так в некоторых говорах называли кислое молоко или сыворотку, но эта гипотеза слабая, так как нет подтверждений бытования такого прозвища. Гораздо правдоподобнее, что фамилия — прямой маркер этнического происхождения, и её носители — потомки амшенских армян, осевших в Российской империи.

Регионально фамилия привязана к Краснодарскому краю и Адыгее, где до сих пор компактно живут амшенцы. В дореволюционных метрических книгах Амшенниковы встречаются среди крестьян и мещан Черноморской губернии. Сословно — преимущественно крестьянское и казачье окружение, без аристократических ответвлений.