Фамилия Амурбаев при первом взгляде отсылает к реке на Дальнем Востоке, но её корни лежат в другой географии — в тюркской и арабской антропонимии. Разбираем по составу: основа «Амур-» восходит к арабскому имени Амир (повелитель, князь), которое в тюркской среде часто переходило в форму Амур. К этой основе добавился тюркский патронимический суффикс «-бай» (от слова «бай» — богатый, хозяин, господин), а затем русский фамильный формант «-ев». Составное имя Амурбай буквально означало «богатый как Амир» или «владеющий господином». Такие сложные имена с усилителем статуса были типичны для башкирской, татарской, казахской и ногайской традиций.

Географически фамилия плотнее всего представлена в Башкортостане, Татарстане и Оренбургской области — регионах, где веками формировалась смешанная тюрко-финно-угорская среда. У казахов форма Амурбай встречается реже и обычно без русификации. В дореволюционных метрических книгах и ревизских сказках фамилию могли записывать как Амурбаев, Амурбаевъ, а иногда и просто Амурбай — до того как закрепился стандартный русский суффикс.

Есть и вторая, менее убедительная версия: в некоторых тюркских диалектах «амур» могло быть искажением от «амурт» (спокойный, мирный). Но это народная этимология. Правдоподобнее, что имя Амурбай давали мальчику, родившемуся в семье, где дед или отец носил имя Амир, — как знак уважения к старшему родственнику. То есть носитель фамилии Амурбаев — потомок человека, которого назвали в честь предка-«повелителя».

Социальный срез фамилии типичен для крестьян и тептярей (служилых башкир и татар), которые после отмены крепостного права массово получали фамилии по отцу. Дворянской ветви у Амурбаевых не зафиксировано — это фамилия из народной среды, из имени, которое давали с надеждой на благополучие и уважение. В отличие от многих фамилий на «-баев», образованных от прозвищ по профессии (например, Карабаев — от «черный богач»), Амурбаев держится на личном имени, что делает её более «именной» и менее привязанной к конкретному ремеслу.