Фамилия Амуров — редкий случай, когда корень слова почти наверняка указывает на географию, а не на личное качество или занятие. Самая прямая и правдоподобная версия — происхождение от названия реки Амур. В таком случае фамилию могли получить либо переселенцы с Дальнего Востока (например, казаки или крестьяне, переехавшие в Приамурье в XIX веке), либо выходцы оттуда, которые в метриках записывались по месту прежнего жительства: «Амурский» или «Амуров». Модель образования проста: к основе «Амур» добавили типичный русский суффикс принадлежности -ов, означающий «сын человека, связанного с Амуром» или «выходец с Амура».

Менее вероятная, но возможная версия — происхождение от нецерковного имени или прозвища Амур. В русском быту так могли назвать ребёнка, родившегося «сладким» или желанным: по аналогии с античным богом любви, чьё имя в XIX веке уже было на слуху благодаря литературе и лубкам. Однако эта версия упирает в то, что прозвище Амур — очень редкое для крестьянской среды, где чаще давали имена по природным явлениям или животным. Поэтому гидронимическое (речное) объяснение выглядит надёжнее.

С точки зрения словообразования фамилия абсолютно прозрачна: суффикс -ов указывает на типичную русскую патронимическую или топонимическую модель. В отличие от фамилий с суффиксом -ский (Амурский), которые чаще носили дворяне или духовенство, Амуров — фамилия, скорее всего, крестьянская или казачья. Подтверждение этому можно найти в списках переселенцев: например, в документах Забайкальского казачьего войска встречаются Амуровы, что прямо связывает фамилию с освоением Амура.

Поскольку фамилия не массовая, её география узкая: основное ядро — Хабаровский край, Амурская область, Забайкалье. В центральной России Амуровы — редкость. Это дополнительно подтверждает «речную» версию: фамилия не разошлась по стране, а осталась привязанной к региону, откуда пошла.