Фамилия Анапольская — женская форма фамилии Анапольский, и её разбор стоит начать не с корня, а с суффикса и географической привязки. Суффикс -ский (в женском роде -ская) — один из самых частых в польской, украинской, белорусской и еврейской ономастике. Он указывает на происхождение от названия местности: такую фамилию получал человек, владевший или живший в местечке с корнем «Анапол-». Основа «Анапол-» почти наверняка восходит к названиям населённых пунктов: Анаполь, Анаполе или Анаполье. Такие топонимы встречаются в исторических землях Речи Посполитой — на территории современной Польши, а также в западных областях Беларуси и Украины.

Сам топоним Анаполь, скорее всего, образован от личного имени Анна (возможно, в честь святой Анны) и греческого «полис» (город) или славянского «поле». То есть буквально — «город Анны» или «Аннино поле». В польской традиции такие названия не редкость: Богумил — Богомил, Янув — Янов, отсюда и Анаполь. Соответственно, Анапольские — это потомки шляхтича или крестьянина, который владел или арендовал землю в этом месте, либо просто был оттуда родом.

В Российской империи фамилия Анапольский/Анапольская встречалась преимущественно среди еврейского населения черты оседлости (Волынская, Подольская, Киевская губернии), а также среди поляков-католиков. У евреев фамилии на -ский нередко давали по названию местечка, где проживала семья — так фиксировали принадлежность к общине. У православных и католиков — по поместью или селу. Спор между этими версиями решается просто: если фамилия встречается в метриках XIX века в Волынской или Минской губернии, еврейское происхождение более вероятно; если в документах шляхты — польское.

Словообразовательная модель прозрачна: основа Анаполь + суффикс -ский (притяжательно-топонимический). Никакого прозвища или ремесла за ней не стоит — это чисто географический маркер. Родственные фамилии — Анапольцев, Анаполенко, Анапольчук — встречаются реже и указывают на ту же местность, но с разными суффиксами (патронимическим или принадлежностным).

Коротко: предки носительницы фамилии Анапольская происходили из местечка Анаполь (или Анаполье) на западе бывшей Речи Посполитой. Кем они были — зависело от земли: могли быть польскими мелкими дворянами, еврейскими арендаторами или крестьянами. Точнее сказать без конкретных архивных записей невозможно, но корень фамилии — чистый топоним, без дополнительных значений.