Фамилия Анчевска — женская форма фамилии Анчевски или Анчевский, характерная для южнославянских языков, прежде всего македонского и болгарского. В русском контексте она встречается крайне редко и, скорее всего, указывает на корни носительницы из Северной Македонии или западной Болгарии. Окончание -ска (в мужском варианте -ски) — типичный славянский суффикс, образующий фамилии по географическому или топонимическому принципу, аналогично русским фамилиям на -ский.

Основа фамилии — личное имя Анчо или Анче. Это уменьшительно-ласкательная форма от канонических имён Андрей, Антон или Ангел. В южнославянской традиции такие сокращения были обычным делом: Анчо могло означать «маленький Андрей» или «Антон». Суффикс -ев- в фамилии Анчев указывает на принадлежность (буквально «сын Анча»), а конечное -ска превращает её в женский вариант, обозначающий «дочь» или «жену» Анчева.

Таким образом, исходное значение фамилии Анчевска — «принадлежащая роду Анчевых» или «из селения, основанного человеком по имени Анчо». Если фамилия образована от топонима (например, село Анчево), то она указывает на выходца из этого места. В любом случае, корень фамилии — не редкое прозвище, а обычное личное имя, что делает её «прозрачной» для этимологии, но необычной для русского уха из-за типично македонского окончания.