Фамилия Анчевска — это женская форма, которая в южнославянских языках, прежде всего македонском и болгарском, образуется от мужских вариантов Анчевски или Анчевский. В русском контексте она встречается редко и почти наверняка указывает на корни носительницы из Северной Македонии или западной Болгарии. Окончание -ска (мужской вариант -ски) — типичный славянский суффикс, который работает по тому же принципу, что и русское -ский: он может указывать либо на принадлежность к роду, либо на происхождение из определённого места.

Основа фамилии — личное имя Анчо или Анче. Это уменьшительно-ласкательная форма от канонических имён Андрей, Антон или Ангел. В южнославянской традиции такие сокращения были обычным делом: Анчо могло означать «маленький Андрей» или просто «Антон» в домашнем обиходе. Суффикс -ев- в основе Анчев указывает на принадлежность, буквально «сын Анча». Когда к этой основе добавляют -ска, получается женский вариант, который может читаться как «дочь» или «жена Анчева».

Разберём словообразовательную цепочку. От имени Анчо образовали патроним Анчев (чей? — Анчев). Затем, по македонской модели, к нему прибавили суффикс -ски, получив фамилию Анчевски (как русское Анчевский). А женская форма Анчевска — это уже прилагательное в женском роде, которое закрепилось как фамилия. Такой способ образования характерен именно для балканской ономастики: в русском языке женская фамилия на -ска почти не встречается, зато в Македонии это норма.

Если фамилия образована не от имени, а от топонима (например, от названия села Анчево), то она указывает на выходца из этого места. В любом случае, корень фамилии — не редкое прозвище, а обычное личное имя, что делает её этимологию «прозрачной», но для русского уха она звучит непривычно из-за типично македонского окончания. Фамилия почти не фиксируется в исторических документах за пределами Балкан, поэтому её бытование — верный маркер недавней миграции или семейной памяти о южнославянских корнях.