Фамилия Анчеев образована от мирского имени Анчей — просторечной формы канонического имени Антон. В переводе с греческого Антон означает «вступающий в бой», и в народной среде это имя давало множество производных: Антон → Анча → Анчей. Суффикс -ей в данном случае характерен для обиходных, сокращённых форм крестильных имён (ср. Тимофей — Тимоха — Тимоша, Антон — Анча — Анчей). Фамилии на -ев, как Анчеев, типичны для русской ономастики: они указывают на принадлежность к роду человека по имени Анчей.

Существуют и другие версии происхождения. Менее правдоподобно связывать Анчеева с прозвищем Анчута — «чертенок»: эта гипотеза не подкреплена историческими записями, а сам корень «анчут» в русских говорах редок и имеет скорее фольклорный, а не бытовой характер. Ещё одна версия — от турецкого «anca» («только лишь, всего лишь»). Она также слаба: тюркские заимствования в основе русских фамилий обычно связаны с прозвищами по занятию или внешности, а слово со значением «только» не даёт убедительной мотивации для личного имени.

Таким образом, наиболее вероятно, что фамилия Анчеев — это отчество от уменьшительной формы Антон. Потомок человека по имени Анчей со временем стал писаться как Анчеев, и эта модель — одна из самых распространённых в русской фамильной системе. Фамилия встречается преимущественно в центральных и южных регионах России, что подтверждает её исконно русское, а не тюркское происхождение.