В основу фамилии Анчеев легло мирское имя Анчей. Фамилия Анчеев восходит, вероятно, к мужскому личному имени Антон (в переводе с греческого – “вступающий в бой”), точнее к его просторечной форме Анчей. Согласно другой, менее правдоподобной версии, это имя образовано от прозвища Анчута – “чертенок”. Наконец, нельзя исключить, что в основе этой фамилии лежит турецкое слово «anca» - «только лишь, всего лишь». Однако эта гипотеза также представляется менее верной. В результате, потомок человека, обладающего именем Анчей, со временем получил фамилию Анчеев.