Фамилия Анчеева образована от мужского имени Анчей — просторечной формы крестильного имени Антон. В переводе с греческого Антон означает «вступающий в бой», так что далекий предок современных Анчеевых, скорее всего, носил это звучное имя. Модель образования фамилии здесь простая и типичная для русской ономастики: к основе Анчей прибавили суффикс -ев, указывающий на принадлежность («чей?» — Анчеев), а женская форма Анчеева закрепилась как фамилия по мужу или отцу.

Менее правдоподобна версия, что имя Анчей происходит от прозвища Анчута, то есть «чертенок». Эта гипотеза слабая и скорее народно-этимологическая, поскольку в основе лежит не документированное прозвище, а созвучие. Еще одна гипотеза возводит фамилию к турецкому слову anca — «только лишь, всего лишь». Но и она не выдерживает критики: для русской фамильной системы заимствования из тюркских языков обычно связаны с реалиями быта или ремесла, а не с наречиями.

Обратите внимание на суффикс -ев. В русских фамилиях он встречается реже, чем -ов, и обычно присоединяется к основам, оканчивающимся на мягкий согласный или й. Здесь как раз случай Анчей → Анчеев. Такая модель характерна для северных и центральных регионов России, что может служить косвенной подсказкой для поиска корней рода.

Точное место и время возникновения фамилии Анчеева можно установить только через генеалогическое исследование: переписи, ревизские сказки, метрические книги. Но уже сейчас ясно, что основная версия — от имени Антон через форму Анчей — наиболее логична и подтверждается словообразовательными закономерностями.