Фамилия Анчеевы образована от мужского личного имени Анчей — просторечной формы канонического имени Антон. Греческое Ἀντώνιος (Antonius) означало «вступающий в бой», но в русской народной среде имя быстро обросло уменьшительными и обиходными вариантами. Анчей — один из них, наряду с Антоша, Антоха, Антюха. Такая модель образования фамилий через суффикс -ев от имени, оканчивающегося на -ей, типична для русской ономастики: Алексеевы, Андреевы, Тимофеевы — и Анчеевы стоят в том же ряду.

Менее убедительна версия, связывающая фамилию с прозвищем Анчута — «чертёнок». В народной демонологии анчутками называли мелких злых духов, болотных бесенят, но вряд ли такое прозвище закрепилось бы в качестве родового имени, не получив нейтрального бытового переосмысления. Эту гипотезу стоит рассматривать как вторичную.

Ещё одна версия отсылает к турецкому anca — «только лишь, всего лишь». Она выглядит натянутой: для проникновения тюркского наречия в основу русской фамилии нужны веские историко-географические основания, а их для Анчеевых нет. К тому же слово anca в тюркских языках — служебное, наречное, а не личное имя или прозвище, что делает его маловероятным источником фамилии.

Фамилия Анчеев встречается нечасто, но у неё есть чёткая географическая привязка: основная масса носителей сосредоточена в Поволжье, особенно в Чувашии и Татарстане. Это может указывать на смешанное русско-финно-угорское или русско-тюркское бытование фамилии, хотя ядро остаётся славянским. В документах XVII–XVIII веков Анчеевы фиксируются среди служилых людей и крестьян Казанского уезда.

Главное в фамилии Анчеевы — прозрачная словообразовательная модель: основа Анчей плюс притяжательный суффикс -ев, указывающий на принадлежность потомку человека по имени Анчей. Фамилия не прошла через дворянскую фиксацию, не попала в гербовники, но именно это делает её типичным образцом народной, крестьянской или посадской ономастики — живой и естественной.