Фамилия Анчев — редкий случай, когда суффикс подсказывает историю точнее, чем корень. Обычно фамилии на -ев и -ов образованы от имён или прозвищ, оканчивающихся на согласный (Пётр — Петров), а на -ин — от основ на -а/-я (Илья — Ильин). У Анчева финаль -ев, но основа «Анч-» — нестандартная для русского уха. Это прямое указание на то, что перед нами не великорусская, а скорее южнославянская или западнорусская модель.

Самая вероятная версия: Анчев — это болгарская или сербская фамилия, образованная от имени Анчо. Анчо — уменьшительная форма от Антон (в болгарском языке) или от Андрей (в сербском). Суффикс -ев в южнославянских языках — стандартный патронимический показатель, соответствующий русскому «сын такого-то». То есть Анчев буквально значит «сын Анчо». В Болгарии и Сербии такие фамилии массово фиксируются с XIX века, когда крестьяне получали фамилии по имени отца.

Менее распространённый, но возможный вариант — русское происхождение от прозвища Анча. В русских говорах «анча» могло означать человека с каким-то особенным говором или повадкой, но это слово не закрепилось в литературном языке. Если фамилия действительно русская, её носители происходят из южных или западных регионов, где было влияние украинской и белорусской традиции: там суффикс -ев часто заменял -ов в фамилиях от имён с мягким окончанием.

Географически Анчевы встречаются в России редко, в основном в Краснодарском крае и Ростовской области — регионах, куда в XIX–XX веках переселялись болгары и сербы. В Болгарии же фамилия Анчев входит в сотню самых распространённых. Так что, если ваши предки были крестьянами или ремесленниками, с высокой вероятностью они носили эту фамилию ещё на Балканах, а в Россию попали вместе с волнами миграции.