Фамилия Анчева — женская форма, образованная от мужской Анчев. Её основа, скорее всего, восходит к краткой, усечённой форме крестильного имени Ананий. В русских говорах имя Ананий (от древнееврейского «благодать Божья») нередко сокращали до Анч или Анча. Суффикс -ев указывает на принадлежность: буквально «сын Анча». Таким образом, Анчев — патронимическая фамилия, построенная по той же модели, что и Антонов (от Антон) или Анисимов (от Анисим), но с более редкой основой. Словообразовательно примечателен именно суффикс -ев, а не -ов: он закрепился из-за мягкой или шипящей основы (Анч + ев). Для женской формы Анчева характерно ударение на первом слоге — А́нчева, что отличает её от некоторых однокоренных фамилий с ударением на втором слоге.

Однако у этой фамилии есть и другая, вполне реальная ветвь. В южнославянских языках, особенно в болгарском, фамилия Анчев (и Анчева) весьма распространена. Там она происходит от имени Анчо — уменьшительной формы от Ангел, Антон или Андрей. Если корни семьи ведут в Болгарию или Македонию, то фамилия сохранила южнославянское окончание -ев, а не русское -ов, что типично для болгарских фамилий. Спорных версий здесь почти нет: обе гипотезы — от имени Ананий и от южнославянского Анчо — сходятся на том, что в основе лежит личное имя в ласкательной форме.

География бытования подсказывает, что в России фамилия Анчева встречается нечасто и концентрируется в южных регионах, а также в среде потомков болгарских переселенцев, например, на Кубани или в Крыму. Социальный контекст: предки носительницы фамилии, скорее всего, были крестьянами или мещанами, так как патронимы на -ев в среде дворянства практически не встречались.