Фамилия Ангаскеев — редкий случай, когда географическая привязка оказывается надёжнее, чем попытка разобрать корень по словарям. Она почти наверняка восходит к названию села Ангаск (или Ангаска) — такие топонимы встречаются в Сибири, в частности в Иркутской области, где река Ангара дала начало многим названиям. Суффикс -еев (вариант -ев после мягкого согласного) указывает на модель образования от имени или прозвища: Ангаскей — так могли называть выходца из Ангаска, «ангаского». То есть Ангаскеев — это «сын Ангаскея», а сам Ангаскей — человек, чьим местом рождения или жительства было село Ангаск.

Словообразовательная цепочка простая: топоним Ангаск → прозвище Ангаскей → фамилия Ангаскеев. Суффикс -ей в прозвище типичен для русских народных форм (ср. Костяй, Степай), он придаёт имени или прозвищу разговорный, «свойский» оттенок. Встречается такой суффикс в основном в северных и сибирских говорах, что косвенно подтверждает сибирское происхождение фамилии.

Менее вероятна, но возможна версия от дохристианского имени Ангас (из тюркских или монгольских языков, где «ангас» могло означать «зверь» или «охотник»). Однако в этом случае ожидалась бы форма Ангасов (с суффиксом -ов), а не Ангаскеев. Появление суффикса -к- в основе (Ангас → Ангаскей) проще всего объяснить именно топонимическим путём: село Ангаск, житель — ангаскей.

Фамилия крайне редкая. В открытых базах данных (например, в списках переписи или телефонных справочниках) она практически не встречается за пределами Восточной Сибири. Это значит, что носители фамилии, скорее всего, потомки крестьян-старожилов из Приангарья или Забайкалья, переселившихся туда ещё в XVII–XVIII веках. Сословно — почти наверняка крестьяне или казаки, никакого дворянства.

Сравнение с однокоренными фамилиями (Ангаров, Ангарский, Ангасов) показывает, что Ангаскеев стоит особняком: у него не просто корень «ангар», а именно топонимическое прозвище с уменьшительно-притяжательным суффиксом, что характерно для фамилий, возникших в глубинке, где человека называли не по ремеслу, а по месту, откуда он пришёл. Если вы носите эту фамилию, ваши предки с высокой долей вероятности жили в сибирской деревне, носившей название Ангаск, и в какой-то момент один из них получил прозвище по этому селу.