Фамилия Аннич — редкий пример, когда основа не усекается, а наращивается. В ней легко угадывается корень Анн- (от имени Анна), но суффикс -ич указывает на модель, характерную для польской, белорусской, украинской и южнославянской традиции, а не для великорусской. В русском языке отчества и фамилии на -ич обычно образовывались от мужских имён (Иванович, Петрович). Женское имя Анна в такой модели — случай нечастый, но возможный, если исходным было прозвище или уменьшительная форма.

Самое вероятное объяснение: Аннич — это патроним (отчество), но не от Анны напрямую, а от мужского имени Анний или Анн. Такие имена встречались у южных славян и в католических землях Речи Посполитой как сокращение от Иоанн (Ян) или как самостоятельная форма. В польской ономастике фамилии на -ич (Аннич, Янич, Станич) нередко фиксировались в шляхетской среде, особенно в восточных воеводствах. В белорусском и украинском варианте суффикс -ич мог закрепиться в крестьянских и казацких родах, где отчество передавалось по наследству.

Менее правдоподобная, но встречающаяся гипотеза — связь с топонимом Анничи (населенные пункты в Беларуси и Польше). Тогда фамилия указывала бы на выходца из такого места. Однако первичным в таких названиях всё равно было личное имя, так что круг замыкается.

В написании Аннич обращает на себя внимание двойное «н». Это не опечатка: в польском языке форма Anicz или Anic (с одним «н») встречается реже, а двойное «н» могло возникнуть под влиянием латинского написания Anna или как графическое усиление, чтобы подчеркнуть связь с исходным именем. В русских документах XIX века фамилию могли записывать и как Анничев (с русифицированным суффиксом), но исходный вариант на -ич сохранился у носителей, чьи предки не перешли на великорусскую модель.

Социально фамилия Аннич не привязана к какому-то одному сословию. В метриках XIX века она встречается у мещан и крестьян западных губерний (Гродненской, Минской, Волынской), а также у польской мелкой шляхты. Среди известных носителей выделяется разве что сербский писатель Йован Аннич (XIX век), но это уже южнославянская ветвь, где фамилия образовалась по той же модели независимо.

Для носителя фамилии Аннич главный вывод: ваши предки, скорее всего, жили на западе или юго-западе современной Беларуси, в Польше или на Украине, а фамилия происходит от мужского имени Анн (или Анний), которое в свою очередь восходит к библейской Анне. Двойное «н» — не ошибка, а особенность письменной традиции, которая отличает этот вариант от более простых Аннич с одним «н» (сербских, хорватских).