Фамилия Анцышкин образована от имени Анцышка — просторечной, «домашней» формы канонического имени Анцифер. Анцифер, в свою очередь, — это русская народная переделка греческого имени Онисифор (Ὀνησιφόρος), что значит «полезный», «приносящий пользу». Такие сокращения и переосмысления имён в быту были обычным делом на Руси: длинное церковное имя сокращали до удобного в произношении варианта, а затем добавляли суффикс принадлежности.

Имя Онисифор носил один из апостолов от семидесяти. По преданию, вместе с Сосфеном, Аполлосом и другими он был избран самим Иисусом Христом для проповеди вскоре после избрания двенадцати ближайших апостолов. Святой Онисифор был епископом в малоазийском Колофоне, позже — в Коринфе. Его память в православном календаре приходится на 17 января и 20 сентября. Церковное имя было хорошо известно на Руси, но в народе оно быстро обросло обиходными формами — Анцифер, Анциферко, а от них уже и ласкательное Анцышка (с типичным для восточнославянской фонетики смягчением «ц» перед «ы»).

Суффикс -кин (в основе которого -ин) в фамилии Анцышкин указывает на принадлежность: буквально «чей?» — Анцышкин, то есть сын, потомок или человек из семьи Анцышки. Такая модель — от краткого имени с суффиксом -к(а) плюс притяжательный суффикс — одна из самых распространённых в русских фамилиях (ср. Петькин, Васькин, Федькин). Она закрепилась в основном в среде крестьян и посадских людей, где отчество на -ин становилось наследственным уже в XVI–XVII веках.

Таким образом, фамилия Анцышкин хранит память об имени дальнего предка, которого в быту звали Анцышка. Этот человек, скорее всего, был крестьянином или ремесленником из центральной или северной России: именно в этих регионах фамилии на -ин от сокращённых имён особенно часты. Других, не связанных с именем Онисифор, версий происхождения у фамилии нет — основа прозрачна, а церковное имя хорошо документировано.