Фамилия Анзин, скорее всего, образована не от славянского, а от тюркского прозвища. В этом она похожа на фамилии Тургенев, Аксаков или Булгаков, которые ведут начало от тюркских корней. Если Тургенев — от «быстрого», Аксаков — от «хромого», а Булгаков — от «беспокойного», то Анзин, вероятно, восходит к тюркскому слову «анзы» (или близкому к нему «анза»), что означает «память», «воспоминание» или «помнящий». Прозвище Анза могли дать человеку с хорошей памятью или тому, кто хранил предания рода.

Фамилия образована по русской модели с суффиксом -ин, который указывает на принадлежность: «чей?» — Анзин, то есть сын или потомок человека по прозвищу Анза. Эта модель типична для фамилий, произошедших от прозвищ на -а/-я: например, Головин (от «голова») или Путятин (от «Путя»). Таким образом, в основе фамилии лежит не имя, а прозвищное слово, которое со временем забылось.

Встречается фамилия в основном на территориях, где исторически был контакт славян с тюркскими народами: в Поволжье, на Урале и в южных регионах России. Встречаются единичные случаи в документах XVII–XVIII веков, но массово фамилия не была распространена, что говорит о её локальном происхождении.

Итог простой: предки носителей фамилии Анзин — скорее всего, русские или обрусевшие люди, получившие прозвище от тюркского слова «анзы» за отличительную черту — хорошую память или знание родовой истории.