Фамилия Апекаек настолько редкая, что в стандартных ономастических справочниках по русским фамилиям вы её не найдёте. Её облик сразу выдаёт нерусское происхождение: характерное окончание -ек, отсутствие типичных славянских суффиксов принадлежности (-ов, -ин) и сочетание согласных, не свойственное восточнославянской фонетике. Скорее всего, перед нами фамилия, возникшая в среде малочисленных народов Севера, Сибири или Дальнего Востока. Наиболее вероятная версия — корни фамилии лежат в чукотско-камчатской языковой группе, у чукчей или коряков.

В чукотском языке слово «апек» или близкие к нему формы могут означать «вожак», «старший», «глава». Чукотские фамилии нередко образовывались от личных имён или прозвищ, которые давались по характерным качествам человека. Суффикс -ек в данном случае мог быть уменьшительно-ласкательным или просто оформлять имя как фамилию при паспортизации в советское время. Таким образом, Апекаек — это, вероятно, «сын (или потомок) Апеки», где Апека — человек, которого называли Старшиной, Вожаком или просто Уважаемым.

Другая, менее вероятная гипотеза связывает фамилию с эскимосскими языками, где встречаются похожие корни, означающие «морж» или «нерпа». В этом случае прозвище могло относиться к удачливому охотнику на морского зверя. Однако для эскимосских фамилий более типичны окончания -ак, -ук, поэтому чукотская версия выглядит предпочтительнее.

Поскольку фамилия не зафиксирована в массовых списках и не имеет широкого распространения, её носители, скорее всего, являются потомками жителей Чукотки или Камчатки, получивших фамилию в 1930–1950-е годы при оформлении советских документов. Тогда многие коренные народы впервые получили фамилии по имени отца или по прозвищу, и Апекаек могла быть записана именно так, как её услышал чиновник, — без адаптации к русскому языку.