Фамилия Апейкина — женская форма, а мужской вариант Апейкин. В её основе лежит редкое русское нецерковное имя или прозвище Апейка. Чтобы понять, откуда оно взялось, нужно заглянуть в народную лексику: «апейка» — диалектное слово, в ряде говоров означавшее «обезьяна». Прозвище Апейка могли дать человеку с подвижным, непоседливым характером, кривляке или тому, кто внешне напоминал обезьяну. В русских деревнях такие сравнения не несли однозначно обидного смысла, скорее закрепляли броскую черту.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Апейкин — «сын Апейки» или «человек из рода Апейки». Это типичная модель образования русских фамилий от прозвищ и некалендарных имён, особенно распространённая в центральных и северных губерниях. В отличие от фамилий на -ов, которые чаще образовывались от имён на твёрдый согласный, -ин характерен для основ на -а/-я.

Встречается фамилия Апейкин (и Апейкина) преимущественно в Поволжье и некоторых областях центра России, но не относится к числу массовых. Встречается и вариант Апейкин с ударением на первый слог, и на второй — это зависит от местной традиции произношения.

Есть и другая, менее вероятная версия: связь с греческим именем Апейка (от «апейрос» — бесконечный, неопытный), но в крестьянской среде, где фамилия и возникла, такой источник маловероятен. Гораздо правдоподобнее, что предок носителя фамилии Апейкин был просто живым и неусидчивым человеком, за что и получил своё прозвище.

Сравните с однокоренными фамилиями: Обезьянкин, Макакин (от «макака») — все они образованы по одному принципу и относятся к той же образной группе. Фамилия Апейкина — редкий случай, когда в основе лежит слово, почти вышедшее из живого употребления, но сохранившееся в фамильном имени.