Фамилия Апейникова — женская форма, а мужская, Апейников, образована по стандартной русской модели с суффиксом -ов. Основа фамилии — прозвище или мирское имя Апейник. Разберём, что оно могло означать.

Корень «апейн» нехарактерен для исконно русских слов. Наиболее вероятная версия связывает фамилию с греческим словом «апейрон» (ἄπειρον) — «беспредельное, бесконечное». В православной среде, особенно среди духовенства, было принято давать фамилии выпускникам семинарий на основе греческих философских или богословских терминов. Семинарист мог получить фамилию Апейников как «учёное» прозвище, намекающее на глубину познаний или на что-то необъятное. Эта версия подкрепляется тем, что фамилия редкая и не массовая — типичный признак искусственных семинарских фамилий, которые давали не целым деревням, а отдельным учащимся.

Менее вероятна, но возможна связь с диалектным словом. В некоторых говорах «апейка» или «опейка» — это огрех в работе, недоделка, или же неловкий, неуклюжий человек. В этом случае прозвище Апейник мог получить нерадивый работник. Однако греческая версия выглядит убедительнее, учитывая, что фамилия не массовая и встречается редко.

Обратите внимание на суффикс -ик в основе. Он придаёт прозвищу Апейник уменьшительный или пренебрежительный оттенок — так же, как, например, «ученик» образовано от «учёный». Это могло означать «маленький Апей» или «тот, кто связан с Апеем» (гипотетическим греческим именем). Фамилия Апейников — типично семинарская по происхождению, а не крестьянская. Носители её, скорее всего, потомки священников или церковнослужителей, получивших звучную фамилию при обучении в духовном училище.

Географически фамилия встречается в центральных областях России, но не имеет яркой региональной привязки. Однокоренных фамилий мало: Апейкин, Апейченко — все они, вероятно, восходят к той же греческой основе.