Фамилия Аркатовские — вариант фамилии Аркатовский, и её разбор стоит начать с суффикса. Формант -ский указывает на географическую или дворянскую модель образования: такие фамилии часто получали по названию местности или владения. В основе лежит имя или прозвище Аркат — просторечная форма от церковного имени Аркадий. Греческое слово «аркадос» означает «житель Аркадии», пастух, что отсылает к пастушескому быту древней области в Пелопоннесе.

Есть и другая версия: прозвище Аркат могли дать за характер. В пермских говорах глагол «аркать» значит «кричать, бранить». Тогда предок мог быть скандалистом или просто человеком с громким голосом. Сословно, скорее всего, речь о крестьянах или рабочих — имя Аркадий в народной среде часто упрощали, а «прозвищные» фамилии редко встречались у высших слоёв.

Интересно, что фамилия Аркатовские — редкий случай двойного суффикса: к основе Аркат прибавили сначала -ов (притяжательный суффикс), а затем -ский (территориальный). Такая модель (Аркатов + ский) встречается нечасто и говорит о том, что фамилию могли дать не напрямую от имени, а от более старой фамилии или названия поселения вроде Аркатово. Если такое село или хутор существовало, жителей оттуда называли «Аркатовские» — то есть «из рода Аркатовых» или «с хутора Аркатов». Точное место и время возникновения фамилии установить сложно, но её структура — ценный след для краеведческого поиска: стоит искать топонимы с корнем «Аркат-» на картах бывших губерний, особенно в Пермской или соседних областях, где бытовал глагол «аркать».