Фамилия Аркатовский — один из тех случаев, когда народная память переиначила церковное имя на свой лад. В основе лежит просторечная форма Аркат от канонического имени Аркадий (в переводе с греческого — «житель Аркадии», то есть пастух). Такое стяжение — «Аркадий» в «Арката» — типично для русской бытовой речи: так же, как Николай превращался в Николая, а Дмитрий — в Митяя.

Фамилия образована по распространенной модели с суффиксом -овск-/-евск-, который в восточнославянской ономастике часто указывал на принадлежность к владельцу или на географическое название. Однако в случае с Аркатовским более вероятно, что суффикс -ский добавили к основе Аркат уже в XIX веке, когда фамилии на -ский стали массово давать в духовных училищах и семинариях. Семинаристы нередко «облагораживали» простонародные прозвища, превращая их в звучные фамилии.

Есть и вторая версия, не связанная с именем Аркадий. В пермских говорах глагол «аркать» означал «кричать, бранить». От него могли дать прозвище Аркат — скандалисту или человеку с громким голосом. Эта версия менее популярна, но имеет право на существование: фамилии от диалектных глаголов в тех краях не редкость.

Сословная принадлежность носителей фамилии, скорее всего, не была единой. Если фамилия возникла в крестьянской среде (как указывает первая версия), то ее носители были выходцами из рабочей или земледельческой среды. Если же она семинарского происхождения, то предки могли быть из духовного сословия. Точных данных о географии фамилии Аркатовский в открытых источниках мало, но по косвенным признакам она встречается в центральных и северных губерниях России, где были сильны и крестьянские, и церковные традиции именования.

В итоге: фамилия Аркатовский с высокой вероятностью восходит к имени Аркадий через его просторечную форму Аркат, а суффикс -ский мог появиться либо при оформлении фамилии в семинарии, либо как указание на принадлежность к роду Аркатовых. Альтернатива — прозвище от глагола «аркать» — менее убедительна, но не исключена.