Фамилия Акатовский — редкий случай, когда географическая привязка почти наверняка первична. Суффикс -ский указывает на происхождение от названия места, и для этой фамилии таким местом могло быть село или деревня Акатово (их несколько в России, например, в Московской и Калужской областях). Человек, переселившийся из Акатова, получал прозвание «Акатовский» — то есть «тот, кто из Акатова». Форма с окончанием -ий характерна для русского дворянства и духовенства, но в данном случае фамилия могла закрепиться и за крестьянами, вышедшими из этого села.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с личным именем Акат. Это сокращение от канонического имени Акакий (греч. «незлобивый»). В русской традиции от Аката образовывали фамилии через суффикс -ов (Акатов), а от неё уже — Акатовский, то есть «потомок Акатова». Однако такая двойная ступень образования встречается редко: обычно от имени сразу шли в -ский, минуя промежуточную фамилию.

Обратите внимание, что фамилия Акатовский не фиксируется в классических словарях русских фамилий (Унбегауна, Никонова) как распространённая — это указывает на её узколокальный характер. Скорее всего, она бытовала в центральных губерниях России, где есть топонимы Акатово. Владельцы такой фамилии в XIX веке могли быть как крестьянами, так и мещанами или священниками, но без архивных изысканий по конкретному региону сказать точнее сложно. Если вы знаете, из какой области родом ваши предки, стоит проверить списки населённых мест той губернии — село Акатово могло быть их малой родиной.