Фамилия Арнания — редкая и неочевидная для русского уха. Её происхождение, скорее всего, не славянское, а иноязычное, и разбирать её нужно не через типичные суффиксы -ов или -ин, а через корневую основу.

Самая вероятная версия — топонимическая. Фамилия могла возникнуть от названия местности, например, от итальянского города или региона. В Италии существует коммуна Арнания (Argnani) в провинции Реджо-нель-Эмилия, а также фамилия Арнани (Argnani) — достаточно распространённая в северной Италии. Русское окончание «-ия» могло появиться при адаптации итальянской фамилии на русской почве: переселенец или его потомок записывался как «Арнания» по аналогии с другими фамилиями греческого или латинского образца. В таком случае предок носителя фамилии был выходцем из этих мест.

Вторая версия — греческая. Окончание «-ия» характерно для греческих фамилий (например, Папанастасия, Хадзидимитрия). Корень «Арна» может восходить к греческому «αρνί» (арни) — «ягнёнок». Тогда фамилия могла быть прозвищем пастуха или владельца отары, либо же уменьшительно-ласкательным именем, данным ребёнку. В пользу этой версии говорит и то, что в греческих фамилиях часто встречается суффикс «-анис», а «-ия» — его русифицированная форма.

Третья, менее вероятная, но допустимая гипотеза — искусственное происхождение. В XIX веке в духовных училищах семинаристам иногда давали «благозвучные» фамилии, образованные от латинских или греческих слов. «Арнания» могла быть сконструирована от латинского «agnus» (агнец) через греческое посредничество, что делало её «книжной» фамилией священника или учителя.

Географически фамилия Арнания встречается в основном на юге России и в Закавказье, что косвенно подтверждает греческую или итальянскую версию (через черноморские порты). Сословной привязки нет: носителями могли быть как крестьяне-греки, так и мещане или духовенство.

Таким образом, если ваши предки были родом с Черноморского побережья или из Крыма, скорее всего, фамилия греческая и связана с пастушеским прозвищем. Если же семейное предание указывает на западное направление — стоит присмотреться к итальянским корням.