Фамилия Арнышева — одна из тех, где за привычным русским суффиксом скрывается неочевидная основа. Она образована по стандартной модели: к основе на шипящий или мягкий согласный добавили суффикс -ев. Арнышев — это буквально «сын Арныша» или «человек из рода Арныша». Всё упирается в то, что скрывается за именем Арныш.

В православных святцах такого имени нет, поэтому сразу отпадает версия о крестильном имени. Значит, перед нами либо прозвище, либо заимствование из другого языка. В русских говорах слово «арныш» иногда связывали с «аршином» — мерой длины. Так могли прозвать долговязого, высокого человека. Но эта версия не самая сильная: слово «арныш» в значении «аршин» встречается редко и локально.

Куда более убедительно выглядит тюркское происхождение. У татар и башкир известно имя Арныш (или Арнаш), которое восходит к древнетюркскому «ар» — мужчина, и «ныш» — знак, метка. В переносном смысле — «достойный муж» или «отмеченный». Фамилия Арнышев типична для Поволжья и Приуралья — регионов, где веками жили рядом русские и тюркские народы. Многие крещёные татары и мишари получали такие фамилии при переходе в православие или при записи в ревизские сказки. Русская модель образования на -ев легко наложилась на тюркское имя, и фамилия закрепилась.

Есть и третья, более слабая версия: в некоторых говорах арнышом называли неопрятного, взлохмаченного человека (от «арнаутить» — пачкать, возиться в грязи). Слово плохо зафиксировано в словарях, но прозвища часто строились на бытовых наблюдениях, поэтому исключать её полностью нельзя.

Какой из вариантов ближе к истине — зависит от конкретной семейной истории. Но в любом случае фамилия Арнышева несёт отпечаток культурного пограничья: предок мог быть либо русским крестьянином с прозвищем по росту или внешности, либо выходцем из тюркской среды, чьё родовое имя адаптировали по русской модели.