Фамилия Ашинский — одна из тех, что образована по модели, типичной для польской, украинской и еврейской ономастики, но с русским «акцентом» в суффиксе. Ключевой элемент здесь — окончание -ский, которое изначально указывало на принадлежность к месту или роду: «из такого-то села» или «из рода такого-то». В отличие от массовых -ов/-ев, фамилии на -ский чаще носили дворяне, духовенство или выходцы из Западной Руси, но со временем они распространились во всех сословиях.

Основа фамилии — Ашин — скорее всего, топонимическая. Самый очевидный вариант: город Аша в Челябинской области (основан в конце XVIII века как посёлок при заводе). Житель этого места — «ашинец», а фамилия «Ашинский» означает «приехавший из Аши» или «выходец из Аши». Однако есть нюанс: город Аша — сравнительно молодой, поэтому фамилия могла возникнуть и от более древнего села с похожим названием, например, от реки Аша (приток Сима) или от деревень Ашино в разных губерниях — такие встречались в Казанской, Вятской и Уфимской губерниях.

Менее вероятная, но возможная версия — происхождение от личного имени или прозвища. В старых русских говорах «аша» могло означать «пища, еда» (от глагола «ашать» — есть, угощаться), но это редкое диалектное слово. Тогда прозвище Аша могли дать либо любителю поесть, либо хлебосольному хозяину. В таком случае Ашинский — «сын Аши», но эта цепочка менее надёжна, чем географическая привязка, поскольку суффикс -ский редко крепится к прозвищам напрямую — обычно он требует названия места.

Ещё одна деталь: в польской традиции фамилия могла звучать как Aszyński и относиться к населённому пункту типа Aszyna (гипотетическое село в бывшей Речи Посполитой). Но для русской фамилии Ашинский это экзотика — скорее всего, корни у неё уральские или поволжские.

Словообразовательная модель проста: топоним (Аша) + суффикс принадлежности -ин- (соединительный элемент) + фамильный суффикс -ский. Такая конструкция характерна для фамилий, возникших в XIX веке, когда крестьянам массово давали фамилии по месту жительства. Если ваши предки носили Ашинских — ищите их в метрических книгах Уфимской, Оренбургской или Пермской губерний: там эта фамилия встречается с середины XIX века.