Фамилия Ашшур стоит особняком в русском ономастиконе: она почти не встречается за пределами нескольких семей, и её происхождение напрямую связано с древней историей, а не с типичными для славянских фамилий прозвищами или профессиями.

В подавляющем большинстве случаев Ашшур — это не русская, а ассирийская или арамейская фамилия. Основа её — имя древнего верховного бога Ассирии Ашшура (Ашур), покровителя одноимённого города и всей империи. Носители такой фамилии — потомки ассирийцев, которые в XIX–XX веках переселялись на территорию Российской империи из районов современного Ирана, Турции и Ирака, спасаясь от гонений. Таким образом, для коренного носителя фамилия Ашшур — это не столько указание на род занятий, сколько маркер этнической и религиозной принадлежности: ассирийцы (айсоры), сохранившие свою идентичность и память о древней цивилизации.

Русская огласовка фамилии — с двойным «ш» — может быть следствием передачи ассирийского произношения через арабское или турецкое посредничество. В самой ассирийской среде фамилия может звучать иначе — например, «Ашури» или «Ашуров», но при записи в российских паспортах закрепилась форма «Ашшур». Она не имеет типичных русских суффиксов (-ов, -ин, -ский), что сразу указывает на её иноязычное происхождение и относительно позднее вхождение в русский быт (не ранее второй половины XIX века).

Если фамилия Ашшур встречается у человека, не связанного с ассирийской общиной, это может быть крайне редким случаем искусственного происхождения — например, псевдоним, взятый по названию города или в честь исторической личности. Но в подавляющем большинстве случаев перед нами фамилия-памятник: её носители — потомки одного из древнейших народов Ближнего Востока, чьё имя сохранило имя их главного божества.