Фамилия Асикаева — одна из тех, где тюркский корень и кавказская модель словообразования слились воедино. Разбираем её не по шаблону, а с самого неочевидного: с уменьшительной основы Асика. Это не имя, а прозвищная форма, образованная от имени Асык (или Асик) с помощью ласкательного суффикса -а, что типично для разговорной речи тюркских народов. В казахском и татарском «асык» — это и игральная кость, и «влюблённый», «страстный», но прозвище, скорее, давали по характеру: горячий, одержимый, влюбчивый. Арабская версия — от «асик» (влюблённый, преданный) — тоже возможна, но только через тюркское посредничество, поскольку фамилия бытует в регионах с сильным тюркским влиянием.

Суффикс -ев здесь — притяжательный, как и в русских фамилиях, но работает по-своему. В чеченском и ингушском языках, где фамилии на -ев особенно распространены, окончание присоединяется к основе, оканчивающейся на гласную. Сравните с однокоренными фамилиями: если бы это был русский вариант, от имени Асик получили бы Асиков. Но здесь — Асикаев, то есть «сын или потомок Асики». Переход Асик + а (уменьшительный суффикс) + ев — характерная черта именно тюрко-кавказской модели словообразования.

Встречается фамилия преимущественно в Чечне, Ингушетии и среди выходцев из этих регионов. В дореволюционных документах могли писать и с окончанием -ов (Асикаев), но современная норма закрепила -ев. О сословной принадлежности предков по одной фамилии ничего не скажешь: Асикаевы могли быть и крестьянами, и военными, и духовными лицами — всё зависело от конкретного рода. Единственное, что можно сказать наверняка: фамилия не дворянская и не купеческая, так как не фиксируется в родословных книгах Российской империи.

Так что предок носителя, вероятно, был известен в своей среде как Асика — человек с горячим, влюбчивым нравом. Или, если верить второй гипотезе, его прозвали по игре в бабки, но это менее правдоподобно: прозвище по предмету редко переходит в фамилию без дополнительного контекста.