Фамилия Асляшева — редкий случай, когда основа, скорее всего, не славянская, а тюркская, а суффикс — типично русский, «присваивающий». Это фамилия, образованная по модели «чей?»: Асляш + ев(а). Суффикс -ев указывает на принадлежность, в данном случае — потомок человека по имени или прозвищу Асляш.

Самая вероятная версия связывает основу с тюркским именем Асляш. В татарском, башкирском и других тюркских языках есть имя Аслям (от арабского «аслам» — «самый безопасный», «целый», «здоровый»). Уменьшительно-ласкательная форма от него — Асляш или Асляшка. По той же модели, что русский Иван превращается в Ивашку, а потом в фамилию Ивашев, так и Асляш дал Асляшева. Встречается и вариант Аслямов, но Асляшев — более «бытовая», прозвищная форма.

Менее вероятная, но возможная версия — от тюркского слова «аслы» (настоящий, подлинный) с добавлением аффикса -аш. В этом случае прозвище Асляш могло означать «настоящий», «истинный», «честный» — характеристика, данная предку. Но имя собственное как основа встречается чаще.

Географически фамилия тяготеет к регионам с тюркским населением: Татарстан, Башкортостан, западная часть Сибири, а также Оренбургская и Челябинская области. Встречается и у русских, но почти всегда указывает на смешанные браки или давнюю ассимиляцию в тюркской среде. Носительницы фамилии Асляшева — в основном женщины (суффикс -а), мужской вариант — Асляшев.

Окончание -а не делает фамилию склоняемой по-особенному: она склоняется как обычное притяжательное прилагательное (Асляшевой, Асляшеву). В документах XIX века могла писаться через «о» — Асляшов, но современная норма закрепила форму с «е» после шипящего, что стандартно для русской орфографии таких фамилий.