Фамилия Асляшева — редкий случай, когда тюркская основа «упакована» в типично русскую форму. Суффикс -ев здесь работает как указатель принадлежности: он отвечает на вопрос «чей?» и означает «потомок того, кого звали Асляш». Мужской вариант фамилии — Асляшев, женский — Асляшева, и это обычное притяжательное прилагательное, которое склоняется без сюрпризов: Асляшевой, Асляшеву.

Самая вероятная версия происхождения основы — от тюркского имени Асляш. В татарском, башкирском и других тюркских языках известно имя Аслям, восходящее к арабскому «аслам» — «самый безопасный», «целый», «здоровый». Асляш — это уменьшительно-ласкательная форма от Аслям, по той же модели, по которой русский Иван превращается в Ивашку, а затем в фамилию Ивашев. Встречается и вариант Аслямов, но Асляшев — более «бытовая», прозвищная форма, указывающая на близкое, домашнее обращение.

Менее вероятная версия выводит прозвище Асляш из тюркского слова «аслы» — «настоящий», «подлинный», «истинный» — с добавлением аффикса -аш. В таком случае прозвище могло характеризовать предка как честного и прямого человека. Однако имя собственное как основа встречается в фамилиях чаще, чем нарицательное слово, поэтому первая версия правдоподобнее.

Географически фамилия тяготеет к регионам с тюркским населением: Татарстан, Башкортостан, западная часть Сибири, а также Оренбургская и Челябинская области. Встречается она и у русских, но почти всегда указывает на смешанные браки или давнюю ассимиляцию в тюркской среде.

Любопытная деталь: в документах XIX века фамилия могла писаться через «о» — Асляшов. Современная норма закрепила форму с «е» после шипящего, что стандартно для русской орфографии таких фамилий. Так что если встретите в старых метрических книгах вариант «Асляшов», это не ошибка, а след орфографических правил своего времени.