Фамилия Аваргина — женская форма, и чтобы разобраться в её корнях, нужно обратиться к мужскому варианту Аваргин. Эта фамилия редкая, её основа нетипична для распространённых славянских корней. Словообразовательная модель проста: суффикс -ин указывает на принадлежность, то есть Аваргин — «сын Аварги» или «человек из рода Аварги». Главный вопрос — что скрывается за прозвищем Аварга.

Самая правдоподобная версия ведёт в тюркские языки. В татарском, башкирском и соседних наречиях есть слово «аварга» и близкие формы со значением «тяжёлый», «грузный», «неповоротливый». В диалектах так могли прозвать крупного, медлительного человека или, в переносном смысле, основательного и «тяжёлого на подъём». Фамилии на -ин в Поволжье и на Урале часто возникали именно от тюркских прозвищ, и география бытования фамилии Аваргина — Башкортостан, Татарстан, соседние области — это косвенно подтверждает.

Менее убедительна версия о связи с этнонимом «авары». Авары — древний кочевой народ, но в русской среде фамилии от этнонимов образовывались иначе: скажем, «Аваров» через суффикс -ов. Форма «Аваргин» с суффиксом -ин и окончанием -га указывает на прозвище, а не на прямую этническую принадлежность. К тому же авары исчезли из исторического контекста задолго до формирования русских фамилий — гипотеза слабая.

Для полноты стоит упомянуть версию о диалектном глаголе «аварить» (в некоторых говорах — «делать что-то быстро, торопливо» или «шуметь»). Но эта лексема мало распространена, и закрепиться в качестве основы фамилии ей было бы сложно. В ономастических справочниках, например в работах Б. Унбегауна, подобная основа не фиксируется как типичная для русских фамилий, что оставляет тюркскую версию основной.

Итак, предок носительницы фамилии Аваргина, скорее всего, получил прозвище Аварга за внешность или характер — был человеком крупным, степенным или тяжеловатым. Фамилия закрепилась в крестьянской или мещанской среде, и сегодня её можно встретить преимущественно в Башкортостане, Татарстане и соседних областях.