Фамилия Аварский — одна из тех, где вопрос «что это значит?» упирается в географию, а не в профессию или личное качество. Основа здесь — этноним «аварец», то есть представитель одного из народов Дагестана. Но прямо указывать на национальность предка было бы поспешно: в русской ономастике фамилии от названий народов часто давали не самим носителям этого этноса, а людям, жившим с ними по соседству или торговавшим с ними.

Модель образования проста: основа «авар» плюс типичный русский суффикс прилагательных -ск-. Такая форма характерна для фамилий, которые складывались в среде дворянства и духовенства в XVIII–XIX веках, а также для тех, кто вышел из польской или украинской шляхты. В крестьянской среде фамилии на -ский встречаются реже, но не исключены — их могли давать семинаристам или переселенцам, получившим прозвище по месту службы или жительства.

Версия, что Аварский — это «сын аварца», маловероятна. В русской традиции фамилии от этнонимов с суффиксом -ов/-ев (Аваров) как раз и означали бы «чей-то сын»: Аваров — сын аварца. Аварский же — скорее «относящийся к аварцам» или «происходящий оттуда». Так могли назвать человека, который долго жил в Аварии, вернулся оттуда или торговал с аварскими аулами. В документах XIX века встречаются записи вроде «Аварский» для выходцев из Дагестана, поступивших на русскую службу, — это могло стать прозвищем, закрепившимся за родом.

Спорный момент: иногда фамилию связывают с топонимом Аварское — названием нескольких сёл и реки в Дагестане. Но в центральной России и на Волге, где фамилия тоже фиксируется, она скорее обязана прозвищу, чем прямому переселению. В переписях XIX века Аварские встречаются в Тверской и Саратовской губерниях — далеко от Кавказа, что говорит о переносном, а не буквальном значении.

Коротко: если ваши предки — Аварские, скорее всего, прозвище закрепилось за человеком, которого в округе считали «аварцем» по роду занятий или месту долгой службы, а не по крови. Фамилия редкая, в словаре Б. Унбегауна не упоминается, но по модели образования близка к таким, как Черкесский, Татарский, Калмыцкий — все они указывают на внешнюю, а не внутреннюю этническую принадлежность носителя.