Фамилия Аварский — одна из тех, где вопрос «что это значит?» упирается в географию, а не в профессию или личное качество. Основа здесь — этноним «аварец», то есть представитель одного из народов Дагестана. Но прямо указывать на национальность предка было бы поспешно: в русской ономастике фамилии от названий народов часто давали не самим носителям этого этноса, а людям, жившим с ними по соседству или торговавшим с ними.

Модель образования проста: основа «авар» плюс типичный русский суффикс прилагательных -ск-. Эта форма сразу выдаёт социальный контекст. В XVIII–XIX веках фамилии на -ский закреплялись в дворянской и духовной среде, а также среди польской и украинской шляхты. В крестьянской среде они встречаются реже, но не исключены — их могли давать семинаристам или переселенцам, получившим прозвище по месту службы или жительства. Если бы фамилия означала «сын аварца», она скорее выглядела бы как Аваров: суффикс -ов/-ев как раз указывает на прямое родство. Аварский же — «относящийся к аварцам» или «происходящий оттуда». Так могли назвать человека, который долго жил в Аварии, вернулся оттуда или торговал с аварскими аулами. В документах XIX века встречаются записи вроде «Аварский» для выходцев из Дагестана, поступивших на русскую службу, — это могло стать прозвищем, закрепившимся за родом.

Спорный момент: иногда фамилию связывают с топонимом Аварское — названием нескольких сёл и реки в Дагестане. Но в центральной России и на Волге, где фамилия тоже фиксируется, она скорее обязана прозвищу, чем прямому переселению. В переписях XIX века Аварские встречаются в Тверской и Саратовской губерниях — далеко от Кавказа, что говорит о переносном, а не буквальном значении. Человек мог получить такое прозвище за торговлю с аварцами, за службу в кавказских полках или просто за смуглую внешность, которую соседи связывали с горцами.

По модели образования фамилия близка к таким, как Черкесский, Татарский, Калмыцкий — все они указывают на внешнюю, а не внутреннюю этническую принадлежность носителя. В словаре Б. Унбегауна эта фамилия не упоминается, что неудивительно для редкой формы. Если ваши предки — Аварские, скорее всего, прозвище закрепилось за человеком, которого в округе считали «аварцем» по роду занятий или месту долгой службы, а не по крови.