Фамилия Аваряскина — женская форма фамилии Аваряскин, и её происхождение связано с редкой моделью образования, которая сразу бросается в глаза. В русских фамилиях суффикс -ин обычно указывает на принадлежность: «чей?» — отца или мужа. Но здесь основа не усечённая, а полная — Аваряск-. Это наводит на мысль, что перед нами не крестильное имя, а прозвище или топонимическая фамилия.

Разберём корень. В основе лежит слово «аваря» или «аваряга». В русских говорах, особенно северных и волжских, так могли называть беспокойного, суетливого человека, непоседу. Глагол «аварить» кое-где означал «торопиться, делать что-то наспех». Прозвище Аваряга давали тому, кто вечно бегал, суетился или работал сгоряча. Суффикс -ск- в фамилии Аваряскин — редкий гость для чисто прозвищных фамилий. Чаще он встречается у фамилий, образованных от географических названий: например, от села или речки Аваряска. Такое название могло произойти от того же корня — «аварь» (топкое место, болото, где надо спешить, чтобы не увязнуть) или от диалектного «авара» (суматоха, шум).

География фамилии узкая. Аваряскины и Аваряскины встречаются преимущественно в Поволжье, особенно в Нижегородской области и Мордовии. Там же фиксируются топонимы вроде Авары или Аварята — названия небольших деревень. Вероятнее всего, фамилия пошла от названия места жительства: «Аваряскин» — значит «выходец из Аварясок». Вторая версия, прозвищная, менее вероятна из-за суффикса -ск-, который для личных прозвищ нехарактерен, но полностью исключать её нельзя: в отдельных случаях прозвище могло обрасти суффиксом -ск- под влиянием фамилий на -ский.

Итог: Аваряскина — фамилия с ясной диалектной основой, скорее всего топонимическая или прозвищная. Предки носительницы этой фамилии, судя по всему, жили в местности с названием вроде Аваряска или получили прозвище за торопливость и непоседливость. Фамилия редкая, и её форма с полной основой и суффиксом -ск- отличает её от более массовых «ивановых» и «петровых».