Фамилия Авдюшенко звучит как типичная украинская фамилия, и это действительно так: её выдают суффикс -енко (в старой традиции — «сын», «потомок») и корень, восходящий к каноническому имени Авдий. В основе лежит крестильное имя Авдий (от древнееврейского «Овадья» — «слуга Бога»), которое в народной русской и украинской среде приобрело уменьшительные формы — Авдя, Авдюша, Авдюха. От такой обиходной формы и пошло прозвание Авдюша, а для потомка — Авдюшенко. То есть носитель этой фамилии — буквально «сын Авдюши», а его далёкий предок, скорее всего, был крещён именем Авдий.

Суффикс -енко в XVII–XVIII веках был главным маркером казацкой старшины и мещанства на Левобережной Украине, а позже распространился на все слои населения. Поэтому фамилия Авдюшенко практически наверняка родом из украинских губерний (Черниговской, Полтавской, Харьковской) или из южнорусских областей, граничащих с Украиной. В России эта фамилия встречается реже и обычно у потомков переселенцев XIX века.

Интересная деталь: имя Авдий в святцах есть, но в народе оно никогда не было частым. Уменьшительное Авдюша могло относиться не только к Авдию, но и к редкому имени Авдакт (тоже христианское, но почти забытое), а в некоторых говорах — к имени Евдоким (через стяжение «Авдоким» → «Авдя»). Ономасты (например, Б. Унбегаун) обычно ведут такие фамилии от Авдия как к более вероятному источнику, но полностью исключать вторичное сближение с другими именами нельзя — так бывало в живой речи.

Сравните с однокоренными фамилиями: Авдеев (русская, с суффиксом -ев), Авдюшин (русская, с суффиксом -ин), Авдюхов (русская или украинская). Авдюшенко стоит в этом ряду особняком именно из-за типично украинского суффикса, который сразу указывает на регион происхождения и социальный контекст — скорее всего, предок был не боярином и не крепостным, а вольным казаком или мещанином, получившим фамилию по отцу в XVII–XVIII веках.