Фамилия Авхимкова — женская форма от Авхимков, и её разбор стоит начать не с корня, а с суффикса. Типичный для русских фамилий суффикс -ов указывает на принадлежность: Авхимков буквально значит «сын Авхимка» или «из семьи Авхимка». А вот основа Авхимк- — это не каноническое имя, а разговорная, обиходная форма. В её основе лежит крестильное имя Евфимий (греч. euphemos — «благочестивый», «благоречивый»), которое в народной речи дало множество вариантов: Ефим, Юхим, Охвим, Авхим. Уменьшительный суффикс -к- (Авхим + к + а) превратил имя в ласкательное или бытовое прозвище — Авхимка, а от него уже образовалась фамилия.

Географически фамилия Авхимкова и её мужской вариант Авхимков тяготеют к южнорусским и белорусским областям. Форма Авхим вместо Ефим характерна для говоров, где «аканье» и замена начального «е» на «а» были нормой. Встречается она и в украинской среде — там имя Евфимий превращалось в Юхим, но вариант с «ав» встречается реже и чаще фиксируется в пограничных регионах: Брянщина, Смоленщина, Гомельщина.

По сословному происхождению однозначных данных нет, но суффикс -ов в сочетании с уменьшительной основой типичен для крестьянских и мещанских фамилий центральной России. Помещики чаще образовывали фамилии от полных форм имён или от названий вотчин, а здесь — явный след деревенского прозвища. Носитель фамилии Авхимков — потомок человека, которого в быту звали Авхимкой, то есть Евфимием, но по-домашнему.

С точки зрения словообразовательной редкости фамилия интересна тем, что сохранила архаичную народную форму имени, почти вытесненную литературным Ефим. В современных справочниках фамилия нечастотна — она не входит в списки самых распространённых, но и не является единичной. Это типичный пример того, как церковное имя, пройдя через фильтр живой речи, превратилось в устойчивый родовой знак.