Фамилия Авхимков звучит непривычно для уха, привыкшего к Ивановым или Смирновым, и это первая подсказка. Она образована от имени Авхим — просторечной, обиходной формы канонического крестильного имени Евфимий. В народной речи имя Евфимий, означающее по-гречески «благочестивый», «благодушный», претерпело сильные изменения: «Евфим» превратился в «Авхим», а «Авхим» — в «Афим» или «Ефим». Фамилия Авхимков как раз и зафиксировала ту стадию, когда начальное «а» ещё не вытеснилось гласной «е».

Суффикс -ов указывает на типичную восточнославянскую модель образования — «чей?» — «сын Авхима». Но интереснее здесь суффикс -к- в основе. Он не фамильный, а уменьшительный: Авхимков — это не просто сын Авхима, а скорее внук или потомок Авхимка. То есть полное имя предка звучало как Авхимко — ласкательная, бытовая форма, распространённая в крестьянской и мещанской среде. Такая модель говорит о том, что предок носителя фамилии был человеком простого звания, где полное имя в документах не всегда использовали.

Географически фамилия Авхимков привязана к южнорусским и белорусским землям, где аканье (произношение «а» вместо «е» в безударной позиции) было нормой. В писцовых книгах XVII века на территориях нынешних Брянской, Смоленской областей и восточной Беларуси нередко встречаются записи «Авхимко Федоров сын» или «Авхимка Павлов». Именно оттуда, вероятно, и пошёл род Авхимковых. В центральных и северных губерниях, где окали, та же фамилия звучала бы как Ефимков или Офимков.

Среди однокоренных фамилий — Авхимов, Авхимович, Авхименко, Авхимчик. Все они восходят к тому же народному имени, но различаются по территории и социальному статусу: Авхимович — скорее польско-белорусская шляхетская форма, Авхименко — украинская, а Авхимков — самая «русская» по суффиксу, но с южным говором в корне. Если ваш предок носил такую фамилию, он, скорее всего, был крестьянином или посадским человеком из региона, где «акали» и где имя Евфимий звучало как Авхим.