Фамилия Авотынш — это не про славянские корни, а про балтский язык и латышскую модель имяобразования. Её основа — латышское слово avots, которое переводится как «источник», «родник». К этой основе добавили суффикс -iņš (в русской передаче он превратился в -ынш). В латышском этот суффикс уменьшительно-ласкательный или указывает на принадлежность, примерно как русское «-ёнок». Поэтому фамилию можно понять двояко: либо как «сын Авотса» (если Avots было личным прозвищем), либо как «маленький источник».

В XIX — начале XX века Латвия была частью Российской империи, и латышские фамилии записывали на русский лад. Так -iņš превратилось в -ынш, -иньш или -инш — в зависимости от того, как чиновник расслышал произношение. Фамилия Авотынш — типичный пример такой адаптации. Она не имеет ничего общего с русскими фамилиями на -ов или -ин, а построена по чисто латышской схеме: основа — имя или прозвище, суффикс — указание на родство или уменьшительность.

Прозвище Avots могли дать человеку, который жил у родника, брал воду из ключа или обладал спокойным, «чистым» нравом. В латышской ономастике фамилии от названий природных объектов — одни из древнейших. В русском контексте Авотынш остаётся крайне редкой, и её носители почти наверняка имеют латышские корни, даже если не знают об этом. Других версий происхождения — например, от славянского корня — нет, так как звуковой состав и суффикс однозначно указывают на балтское языковое влияние. В самой Латвии фамилия сохранилась в исходном написании Avotiņš и встречается до сих пор.