Фамилия Авотыньш — редкий пример балтийского наследия в русском ономастиконе. Если вы её носитель, ваши предки, скорее всего, были латышами или латгальцами, жившими на территории исторической Ливонии или Курляндии. Фамилия образована по типичной для латышского языка модели с суффиксом -iņš (на письме часто передаётся как -иньш, -ыньш), который указывает на уменьшительность, принадлежность или происхождение. В русской записи латышское -iņš превратилось в -ыньш, что и дало современное окончание.

Основа «Авот» восходит к латышскому слову «avots» — «источник, родник». Таким образом, Авотыньш буквально означает «родничок» или «сын (потомок) человека, жившего у родника». Фамилия могла закрепиться за крестьянином, чей хутор стоял возле ключа, либо за человеком, получившим прозвище по характеру — «чистый, как родниковая вода». В латышской антропонимии такие фамилии на -iņš особенно распространены в Латгалии и Земгале, где в XIX веке шёл активный процесс закрепления фамилий за безземельными батраками.

В русском контексте фамилия Авотыньш — почти наверняка результат русификации латышской фамилии при переписях или переселении в губернии Российской империи. Звук [в] в корне мог возникнуть как протетический (вставной) для удобства произношения, либо как вариант передачи латышского дифтонга. Спорных версий здесь немного: некоторые исследователи допускают связь с личным именем Авот (гипотетическая форма от Авдей или Авраам), но это маловероятно — латышские фамилии редко строятся от православных святцев.

Сословно носители фамилии относились к крестьянству, реже — к мещанам. Дворянских родов с такой фамилией нет. В дореволюционных метриках Авотыньши встречаются в Витебской и Лифляндской губерниях, а после революции — в Латвии и среди латышской диаспоры в Сибири. Сегодня фамилия остаётся редкой: по открытым данным, в России её носят не более нескольких десятков человек, в основном в Псковской и Ленинградской областях.