Фамилия Авсагов — редкий случай, когда исходное имя почти полностью слилось с суффиксом, но при этом сохранило ясную географическую и этническую привязку. В её основе лежит личное имя Авсаг — краткая или диалектная форма от мусульманского имени Авсаф. В арабском языке «Авсаф» означает «описание», «качество» или «достоинство». В тюркских и кавказских языках конечный звук «ф» часто переходил в «г» или «х», что и дало форму Авсаг.

Суффикс -ов указывает на стандартную русскую модель образования фамилии, отвечающую на вопрос «чей?». Такая модель закрепилась на Северном Кавказе в XIX–XX веках, когда при документальном оформлении фамилий местные имена стали записывать по русскому образцу. Именно поэтому фамилия Авсагов почти наверняка имеет вайнахское (чеченское или ингушское) происхождение. Подавляющее большинство носителей сегодня живёт в Чечне, Ингушетии и в среде кавказской диаспоры. В дореволюционных списках эта фамилия почти не встречается за пределами Терской области, что подтверждает её локальный характер.

Можно рассмотреть и версию, что Авсаг — это вариант тюркского имени Авсак (от слова «авсак» — «хромой»), но она менее правдоподобна. На Кавказе имя Авсаг устойчиво связывают с арабским «Авсаф», а не с тюркским прозвищем. К тому же, в чеченском и ингушском языках есть целый ряд имён с корнем «авс-» (Авса, Авсар), что указывает на самостоятельную ономастическую традицию.

С точки зрения социального статуса, Авсаговы — это потомки свободных общинников. Фамилия образована от личного имени, а не от титула или сословного обозначения, поэтому никаких сведений о дворянском происхождении нет. Это типичная крестьянская или горская фамилия для региона.

В написании фамилии возможна путаница: в документах иногда встречается вариант Авсагаев, где сохранена более полная форма имени Авсага. Но стандартная русская передача — Авсагов — закрепилась как основная.