Фамилия Азаев чаще всего встречается у еврейских народов, и её происхождение связано с личными именами. В основе фамилии лежит мужское имя Аза — краткая форма библейского имени Азария, которое переводится с иврита как «Бог помог». Параллельно существовало и самостоятельное имя Аза, означающее «сильный, крепкий». Обе версии указывают на древнееврейские корни.

Есть и другая линия объяснения: фамилия могла образоваться от женского имени Аза. В переводе с иврита оно означает «черная», но некоторые исследователи связывают его с арабским словом, которое переводится как «утешение». Таким образом, исходное прозвище или имя могло нести разные смысловые оттенки.

Фамилия образована по стандартной для восточноевропейских евреев модели: к основе имени Аза добавили патронимический суффикс -ев, который указывает на принадлежность к роду («сын Азы»). Такая словообразовательная схема характерна для ашкеназских фамилий, возникших в XIX веке в черте оседлости.

Процесс закрепления фамилий был длительным и не всегда документированным, поэтому точно определить место и время появления фамилии Азаев можно только в рамках конкретных генеалогических изысканий. Тем не менее, ясно, что в её основе лежат древние ближневосточные имена, что делает её интересным свидетельством культурных и языковых связей.