Фамилия Азацкий — редкий пример того, как прозвище, данное по месту жительства, сохранило в себе древнюю форму топонима, почти забытую в современном языке. Её основа — название города Азак, который в XV веке стоял в устье Дона, на месте нынешнего Азова (Ростовская область). Слово «Азак» из древнетюркского означает «устье реки» — точная географическая характеристика места, где город и возник. Позже под русским влиянием топоним превратился в Азау, а затем в привычный нам Азов. Но прозвище Азацкий закрепилось за человеком, который происходил из этого города или был связан с ним, и сохранило более ранний, исходный вариант названия.

Словообразовательная модель здесь прозрачна: суффикс -цк- (в форме -ский) типичен для фамилий, образованных от географических названий. Он отвечает на вопрос «откуда?»: Азацкий — тот, кто из Азака. Такая модель была распространена среди служилых людей и казачества, особенно на южных рубежах России, где выходцы из Азова и его окрестностей нередко получали фамилии именно по этому принципу. В отличие от патронимических фамилий на -ов/-ев, Азацкий сразу указывает на территориальное происхождение, а не на имя отца.

Стоит отметить, что в русской ономастике фамилии на -цкий встречаются реже, чем на -ский, и несут в себе оттенок локальной или шляхетской традиции. В случае Азацкого это скорее южнорусский или украинский след, связанный с историей Приазовья. Фамилия не получила широкого распространения — она остаётся относительно редкой, что делает её особенно ценной для тех, кто ищет свои корни: круг носителей узок, а значит, вероятность найти конкретную ветвь предков выше.