Фамилия Азаев — один из тех случаев, когда за короткой основой скрывается сразу несколько возможных историй, и выбрать единственную версию непросто. Чаще всего её связывают с личным именем Аза. В русской традиции это была краткая форма от полного крестильного имени Азарий, которое в переводе с древнееврейского означает «Бог помог». Однако существовало и самостоятельное мужское имя Аза — редкое, но встречавшееся в святцах. Его значение трактуют как «сильный, крепкий», тоже от древнееврейского корня.

Есть и другая версия, которая отталкивается от женского имени Аза. На иврите оно означает «черная», но некоторые исследователи указывают на возможное арабское происхождение — со значением «утешение». В таком случае фамилия могла образоваться от имени матери, что для русских фамилий редкость, но не исключение, особенно в семьях, где сохраняли память о восточных корнях.

Сама фамилия построена по стандартной русской модели: к основе Аза- добавился патронимический суффикс -ев, который указывает на принадлежность («чей?» — сын Азы). Эта модель типична для фамилий, возникших из полных или уменьшительных форм имён. Интересно, что фамилия Азаев встречается и у народов Кавказа, где имя Аза (или Аз) имеет собственные, не связанные с ивритом корни, что добавляет ещё один слой к её возможному происхождению. Таким образом, перед нами фамилия-загадка: её носители могут быть потомками и человека по имени Азарий, и женщины по имени Аза, и выходца из тюркской или кавказской среды.