Фамилия Азанкова — женская форма, а её основа — мужская фамилия Азанков. В русской традиции фамилии на -ов/-ев образуются от имён, прозвищ или профессий отца, и Азанков здесь не исключение. Ключ к разгадке — корень «Азан», который в русском языке не встречается как самостоятельное слово, а значит, скорее всего, пришёл из тюркских языков.

Самый прямой путь — от тюркского имени Азан. В татарском, башкирском и других тюркских языках «азан» — это призыв к молитве (азан), который читает муэдзин. Имя Азан могли дать мальчику, родившемуся во время утреннего азана, или в семье муллы. Фамилия Азанков буквально означает «сын Азана» (или «внук Азана»). Модель образования типична для русских фамилий из иноязычной основы: к имени Азан добавили русский суффикс -ов, а затем окончание -а для женского рода.

Есть и вторая, менее вероятная версия. В некоторых говорах русского севера и Сибири «азан» могло быть диалектным словом, связанным с «озорник» или «беспокойный человек». Но эта гипотеза слабая — ни в одном серьёзном диалектном словаре (например, у Даля) слово «азан» в таком значении не зафиксировано. Поэтому тюркское происхождение остаётся основным и наиболее обоснованным.

Географически фамилия Азанковы встречаются в Поволжье — в Татарстане, Удмуртии, а также в Кировской области. Это те регионы, где веками жили рядом русские и тюркские народы, и фамилии с тюркскими корнями — обычное дело. Крестьяне, мещане, иногда духовенство — сословный состав типичен для фамилий такого типа.

Сравните с однокоренными: Азанов (от того же имени, но с другим суффиксом), Азангулов (с тюркским компонентом «гул» — раб, слуга бога). Азанкова стоит в том же ряду, но с русским суффиксом, который «обрусел» иноязычную основу. В документах XIX века фамилия могла писаться через «о» — Азонков, что отражает акающее произношение, но современное написание закрепилось через «а».