Фамилия Азенко — яркий пример восточнославянской модели фамилий на -енко, которая в первую очередь ассоциируется с Украиной. Суффикс -енк(о) в украинской ономастике выполнял ту же роль, что русские -ов/-ев: он указывал на потомка, сына или ученика человека, чьё имя или прозвище легло в основу. То есть Азенко — буквально «сын Аза» или «маленький Аз».

Корень здесь — Аз, и это самое интересное. В отличие от многих фамилий на -енко, где основа ясна (Иван — Иваненко, Петр — Петренко), происхождение имени Аз неочевидно. Самая правдоподобная версия — это сокращённая форма от канонического имени Азарий (древнееврейское «помощь Божья») или от менее распространённого имени Азат (персидское «свободный, благородный»). В народном быту такие имена часто усекали до короткого «Аз», которое и стало семейным прозвищем.

Вторая, менее вероятная, но возможная гипотеза — связь с греческим словом «аз» (первая буква алфавита, «альфа»). В этом случае прозвище мог получить грамотей, учитель или человек, который первым начинал какое-то дело. Однако для фамилий на -енко типичнее именно личное имя, а не абстрактное понятие.

Географически фамилия Азенко тяготеет к южным и центральным областям Украины, особенно к Полтавщине и Черкащине — классическому ареалу фамилий на -енко. Встречается она и на Кубани, куда в XIX веке переселялись украинские казаки. В русских говорах эта фамилия редка и почти всегда указывает на украинские корни предка.

Таким образом, ваш предок, скорее всего, был носителем личного имени Аз (производного от Азарий или Азат), и его дети или внуки закрепили за собой фамилию, означающую «потомок Аза». Это типичная история для украинской фамильной модели, где человека называли не по ремеслу, а по имени отца.