Фамилия Азенко построена по типичной восточнославянской модели с суффиксом -енко, который в украинской ономастике указывал на потомка: «сын Аза» или «маленький Аз». Аналог русских окончаний -ов и -ев. Если с суффиксом всё ясно, то корень Аз — самое загадочное место.

Самая правдоподобная версия: Аз — это сокращённая форма от канонического имени Азарий (древнееврейское «помощь Божья») или от менее частого имени Азат (персидское «свободный, благородный»). В народном быту такие имена усекали до короткого «Аз», которое и стало семейным прозвищем. В отличие от фамилий вроде Иваненко или Петренко, где основа очевидна, здесь приходится реконструировать исходное имя, что и делает Азенко особенно интересной для этимолога.

Менее вероятная гипотеза связывает корень с греческим «аз» — первой буквой алфавита, «альфа». Прозвище мог получить грамотей или человек, который первым начинал какое-то дело. Однако для фамилий на -енко типичнее личное имя, а не абстрактное понятие, поэтому эта версия проигрывает первой.

Географически Азенко тяготеет к южным и центральным областям Украины, особенно к Полтавщине и Черкащине — классическому ареалу фамилий на -енко. Встречается на Кубани, куда в XIX веке переселялись украинские казаки. В русских говорах фамилия редка и почти всегда указывает на украинские корни предка.

Таким образом, ваш предок, скорее всего, был носителем личного имени Аз (производного от Азарий или Азат), и его дети или внуки закрепили за собой фамилию, означающую «потомок Аза». Это типичная история для украинской фамильной модели, где человека называли не по ремеслу, а по имени отца.