Фамилия Азенков — один из тех случаев, когда на слух корень кажется иноязычным, а на деле он оказывается исконно русским, просто с необычным звучанием. Основа здесь — прозвище или нецерковное имя Азенок, Азенька. В русских говорах «азя» или «азей» — ласковое обращение к маленькому ребёнку, дитя. В словаре Даля «азя» — это нянька, пестунья, но также и сам малый ребенок. Таким образом, Азенок — «малыш», «дитятко». Фамилия образована по стандартной патронимической модели: к основе на -ок прибавили суффикс -ов (Азенок → Азенков), что буквально означает «сын Азенка».

Суффикс -ок в прозвищах — уменьшительно-ласкательный, характерный для северных и центральных русских говоров. Сравните: Козлёнок — Козленков, Ребёнок — Ребенков. Азенков стоит в том же ряду. Встречается и вариант фамилии Азенков без перехода, и более редкий Азенковский, но «Азенков» — основной.

Географически фамилия тяготеет к северо-западу России. По данным переписей и метрических книг XIX века, Азенковы чаще всего записаны в Тверской, Псковской и Новгородской губерниях. Именно там «азя» в значении «дитя» было особенно употребительно. В южных говорах это слово почти не встречается, так что фамилия — довольно точный маркер происхождения предка из северных регионов.

Других версий, кроме прозвищной, у фамилии практически нет. Попытки связать её с тюркским «азен» (река) или с греческим «азинос» (осёл) — натяжки, не подтверждённые ни словообразованием, ни географией. Суффикс -ов однозначно указывает на славянскую патронимическую модель, а корень находит прямое соответствие в диалектной лексике. Так что предки Азенковых — не татары и не греки, а русские крестьяне или посадские люди, у кого-то из которых в роду был ласково прозванный «малышом» — Азенок.