Фамилия Азенькова — женская форма, и её разбор стоит начать с необычного суффикса. В отличие от типичной для русских фамилий модели на -ов/-ев, здесь мы видим двойную конструкцию -енк(ов). Она прямо указывает на украинское или белорусское происхождение основы: суффикс -енко в украинской ономастике образует патронимы («чей-то сын»), а при переносе в великорусскую среду к нему добавили русский суффикс -ов для адаптации. Так Азеньков стал русифицированным вариантом украинской фамилии Азенко или Азенько.

Корень фамилии — Азень. Это уменьшительно-ласкательная форма от канонического имени Азарий (древнееврейское «помощь Божья») или от редкого крестильного имени Аза, также восходящего к библейским корням. В народной среде имя Азарий сокращали до Азя, Азень — так же, как Иван превращался в Иваня. В пользу этой версии говорит и то, что фамилия не имеет прозвищного значения: предок носителя был сыном человека по имени Азень.

Есть и другая, менее вероятная гипотеза — связь с диалектным словом «азень». Так в некоторых говорах называли ленивого или неуклюжего человека. Однако в исторических документах и словарях русских говоров это слово не зафиксировано как распространённое, поэтому версия с личным именем выглядит правдоподобнее.

Географически фамилия тяготеет к юго-западным областям России и востоку Украины. Встречается в Брянской, Курской, Белгородской областях — зоне смешения русских и украинских говоров, где суффикс -енко привычен, а фамилии на -енков — обычное явление. Носители фамилии Азенькова, скорее всего, потомки украинских или белорусских переселенцев, которые в XVII–XVIII веках осваивали южные земли Русского государства.