Фамилия Азенькова — женская форма фамилии Азеньков, и её разбор стоит начать с суффикса. Типичная для русских фамилий модель на -ов/-ев здесь не работает: мы видим суффикс -енк(ов). Эта двойная конструкция указывает на украинское или белорусское происхождение основы. Суффикс -енко в украинской ономастике образует патронимы («чей-то сын»), а при переносе в великорусскую среду к нему могли добавить русский суффикс -ов для адаптации. Таким образом, Азеньков — это русифицированный вариант украинской фамилии Азенко или Азенько.

Корень фамилии — Азень. Это уменьшительно-ласкательная форма от канонического имени Азарий (древнееврейское «помощь Божья») или от редкого крестильного имени Аза, которое тоже восходит к библейским корням. В народной среде имя Азарий сокращали до Азя, Азень — так же, как Иван превращался в Иваня. В пользу этой версии говорит и то, что фамилия не имеет прозвищного значения, а значит, предок носителя был сыном человека по имени Азень.

Есть и другая, менее вероятная гипотеза: связь с диалектным словом «азень» — так в некоторых говорах называли ленивого или неуклюжего человека. Однако в исторических документах и словарях русских говоров это слово не зафиксировано как распространённое, поэтому версия с личным именем выглядит правдоподобнее.

Географически фамилия тяготеет к юго-западным областям России и востоку Украины. Встречается в Брянской, Курской, Белгородской областях — зоне смешения русских и украинских говоров, где суффикс -енко привычен, а фамилии на -енков — обычное явление. Носители фамилии Азенькова, скорее всего, потомки украинских или белорусских переселенцев, которые в XVII–XVIII веках осваивали южные земли Русского государства.