Фамилия Ажигужаева — одна из тех, где на первый взгляд очевидная основа обманчива. Разобрать её по частям несложно: корень «Ажигуж-», суффикс «-аев» (фонетический вариант «-ев» после шипящего) и окончание, указывающее на женский род. Но именно корень ставит в тупик: в русском языке нет слова «ажигуж» или «ажигужа». Значит, фамилия не исконно русская, а пришла из тюркских языков.

Скорее всего, в основе лежит тюркское мужское имя или прозвище «Ажигужа» (варианты: Ажи-Ходжа, Ажы-Кожа). Первая часть «ажы» (аджы) в тюркских языках означает «горький», «терпкий» или «мучительный» — так могли назвать ребёнка, родившегося в трудный час, или человека с тяжёлым характером. Вторая часть «гужа» — это искажённое «ходжа» (господин, учитель, хозяин). Получается смысловая конструкция «горький господин» или «терпеливый хозяин». В народной ономастике такие имена-обереги давали, чтобы отвести от ребёнка зло: считалось, что «плохое» имя сделает его незаметным для недобрых сил.

Географически фамилия Ажигужаева встречается редко и в основном на Северном Кавказе, особенно в Дагестане и Чечне. Это типичная модель для кумыкских, ногайских и чеченских фамилий, где русский суффикс «-ев» приращивается к местному имени. В отличие от русских фамилий на «-ин» или «-ов», здесь нет указания на отчество в привычном смысле: Ажигужаев — это не «сын Ажигужи», а скорее «принадлежащий к роду Ажигужи». Суффикс «-аев» вместо «-ев» (после «ж» пишется «а», а не «е») — не ошибка, а нормативное для русского языка написание (ср. Брежнев, но Ажигужаев).

Сословно предки носителей этой фамилии, скорее всего, были не крестьянами в классическом русском понимании, а свободными общинниками или узденями (в горских обществах). Фамилия не указывает на ремесло или должность — только на родовое имя, которое закрепилось за потомками. В дореволюционных записях она могла фигурировать в формах «Ажигужев» или «Ажи-Ходжаев», но современное написание устоялось через метрополию: после присоединения Кавказа к Российской империи местные имена записывали на русский лад, и буква «ж» заменила мягкое тюркское «дж» или «кь».

Единственная версия, которую стоит отбросить сразу, — связь с русским словом «жигуль» или «жигули». Случайное внешнее сходство не имеет под собой ни исторической, ни лингвистической основы: фамилия явно тюркская, а не славянская. Если ваш предок носил её в XIX веке, он почти наверняка жил в горном ауле или на равнине Предкавказья, а не в центральной России.