Фамилия Ажигова — женская форма, и её разбор логично начать с мужского варианта Ажигов. Это типичная русская фамилия, построенная по модели «основа + суффикс -ов», который указывает на принадлежность: Ажигов буквально означает «сын Ажига» или «из рода Ажига». Основа здесь — личное имя или прозвище Ажиг, и именно в нём кроется главная загадка.

Само имя Ажиг — редкое. Наиболее вероятно, что это вариант тюркского имени Ажыг (Ажык), восходящего к слову «ажы» — «горький», «терпкий». В переносном смысле — «несчастный», «горемычный». В тюркской ономастике такие имена давали как оберег: считалось, что «горькое» имя отпугнёт злых духов и тяжёлую судьбу. Вторая версия — связь с карачаево-балкарским «ажыг» в значении «острый», «резкий» (о вкусе или характере). Тогда прозвище могло характеризовать человека с острым языком или вспыльчивым нравом. Менее вероятна связь с арабским «хаджи» (паломник, совершивший хадж), которое в тюркской среде могло звучать как «ажи» — но в этом случае мы бы ожидали форму Ажиев, а не Ажигов. Суффикс -гов как раз указывает на более старую, возможно, домонгольскую или раннюю тюркскую основу, где конечный -г сохранился.

Географически фамилия Ажигов (и Ажигова) встречается в основном на Северном Кавказе — в Кабардино-Балкарии, Карачаево-Черкесии, а также среди терских казаков и в среде кавказских народов, перешедших на русскую фамильную модель. Это не случайно: именно в этих регионах тюркские имена и прозвища массово оформлялись русскими суффиксами -ов/-ев в XIX веке при записи в метрические книги и ревизские сказки. Таким образом, Ажигова — фамилия с тюркским корнем, русским суффиксом и кавказской «пропиской». Предки носительницы этой фамилии, скорее всего, жили в горной или предгорной местности, говорили на одном из тюркских языков (балкарском, карачаевском, кумыкском) и получили фамилию по прозвищу, которое либо оберегало от бед, либо описывало характер — «горький» или «острый» человек.