Фамилия Ажигова — женская форма фамилии Ажигов, и её разбор стоит начать с мужского варианта. Ажигов — это типичная русская фамилия, образованная по модели «основа + -ов». Суффикс -ов указывает на принадлежность: Ажигов буквально значит «сын Ажига» или «из рода Ажига». Основа здесь — личное имя или прозвище Ажиг.

Само имя Ажиг — редкое и неочевидное. Скорее всего, это вариант тюркского имени Ажыг (Ажык), которое восходит к слову «ажы» — «горький», «терпкий», а в переносном смысле — «несчастный», «горемычный». В тюркской ономастике такие имена давали как оберег: считалось, что «горькое» имя отпугнёт злых духов и тяжёлую судьбу. Вторая версия — связь с карачаево-балкарским «ажыг» в значении «острый», «резкий» (о вкусе или характере). Тогда прозвище могло характеризовать человека с острым языком или вспыльчивым нравом.

Менее вероятна, но возможна связь с арабским «хаджи» (паломник, совершивший хадж), которое в тюркской среде могло звучать как «ажи». Однако в этом случае мы бы ожидали форму Ажиев, а не Ажигов — суффикс -гов указывает на более старую, домонгольскую или раннюю тюркскую основу, где конечный -г сохранился.

Географически фамилия Ажигов (и Ажигова) встречается в основном на Северном Кавказе — в Кабардино-Балкарии, Карачаево-Черкесии, а также среди терских казаков и в среде кавказских народов, перешедших на русскую фамильную модель. Это не случайно: именно в этих регионах тюркские имена и прозвища массово оформлялись русскими суффиксами -ов/-ев в XIX веке при записи в метрические книги и ревизские сказки.

Таким образом, Ажигова — фамилия с тюркским корнем, русским суффиксом и кавказским «пропиской». Предки носительницы этой фамилии, скорее всего, жили в горной или предгорной местности, говорили на одном из тюркских языков (балкарском, карачаевском, кумыкском) и получили фамилию по прозвищу, которое либо оберегало от бед, либо описывало характер.