Фамилия Азибаев — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. Вопреки первому впечатлению, она построена по классической русской патронимической модели: к тюркской основе добавили суффикс -ев, указывающий на принадлежность отцу. Основа — имя Азибай, и именно в нём ключ к разгадке.

Имя Азибай составное. Первая часть «ази» (или «азы») в тюркских языках многозначна. Она может восходить к арабскому «азиз» через исламскую традицию, означая «святой», «почтенный», «наставник». Но есть и другое, более приземлённое значение — «мало», «немного», то есть «скромный». Вторая часть «бай» — один из самых распространённых компонентов в тюркской ономастике, он переводится как «господин», «богатый», «хозяин». Таким образом, Азибая можно понять и как «святой господин», и как «почтенный богач». Однако правдоподобнее версия, что имя давали с пожеланием скромного достатка: «маленький бай», «скромный хозяин». Такое имя встречается у башкир, татар, казахов и других тюркоязычных народов.

Фамилию Азибаев фиксировали по русскому образцу в XIX–XX веках, когда у тюркских народов Российской империи начался массовый учёт фамилий. Предок человека с этой фамилией, скорее всего, был мужчиной по имени Азибай, жившим в башкирской, татарской или мишарской среде. Географически фамилия чаще всего встречается в Башкортостане, Оренбургской и Челябинской областях, а также среди татарских общин Поволжья. Встречаемость её невысока, что говорит о локальном происхождении: родоначальник был известен в своей деревне или ауле, но фамилия не получила широкого распространения.

С точки зрения социального статуса носители фамилии в прошлом относились к государственным или ясачным крестьянам, реже — к служилым татарам или башкирам-вотчинникам. Дворянских корней у этой фамилии нет: в родословных книгах она не фиксируется, что типично для поздних патронимических фамилий непривилегированных слоёв.

Ошибочно связывать фамилию с кавказским корнем «ази» (как в осетинском или вайнахских языках) — суффикс -бай однозначно указывает на тюркскую, а не иранскую или кавказскую основу. Версия с еврейским корнем (от имени Азиз) тоже маловероятна: отсутствуют характерные для еврейских фамилий суффиксы, да и география бытования другая.