Фамилия Агибаев образована от прозвища Агибай. В основе лежит глагол «огибать» — «гнуть одну вещь вокруг другой, закутывать, обертывать, окружать». Но сразу бросается в глаза, что это не единственное значение. В разных говорах смысл прозвища расходится: во владимирских «огибать» значило «обмануть, одурачить», а в курских Агибаем называли льстеца и плута. То есть прозвище могло указывать не на ремесло, а на характер — хитрого, изворотливого человека.

Словообразовательная модель типична для русских фамилий: суффикс -ев присоединился к основе Агибай. Такая форма указывает на принадлежность потомка человеку с этим прозвищем. Интересно, что фамилия сохранила начальное «А» вместо привычного «О» — это следствие акающего произношения, распространённого в южных и центральных русских говорах. Если бы фамилия писалась по северному принципу, она выглядела бы как Огибаев.

Географически фамилия встречается в регионах, где было распространено аканье: Поволжье, юг России. Встречается и у тюркских народов, но там её этимология иная — от тюркского имени Агибай (Аги + бай, «богатый почтенный»). Для русской ветви версия с «огибать» остаётся основной: предок мог быть либо ремесленником, занимавшимся огибанием (например, кузнецом или бондарем), либо человеком с прозвищем за обман или лесть.

Никаких точных дат первого упоминания фамилии нет, но по модели образования она относится к позднему слою русских фамилий XVI–XVII веков, когда прозвища активно переходили в наследственные именования.