Фамилия Агибаев — из числа тех, что образованы от личного прозвища, причём прозвище это, скорее всего, было связано не с именем, а с характером или поведением человека. Основа здесь — прозвище Агибай, которое в разных русских говорах имело непохожие, но одинаково выразительные значения. Если разбирать слово по составу, то корень восходит к глаголу «огибать» — то есть гнуть, обёртывать, опоясывать, окружать что-то. Такое прозвище мог получить ремесленник, чья работа была связана с огибанием, обивкой или плетением: например, бондарь, корзинщик или кузнец, гнувший металл.

Однако в диалектах смысл смещался в сторону переносного. Во владимирских говорах «огибать» значило «обмануть, одурачить», а в курских — «Агибаем» называли льстеца, хитреца или плута. Выходит, прозвище могло закрепиться за человеком с изворотливым умом, который умел обвести вокруг пальца. Такое именование — не редкость для русской традиции, где фамилии часто отражали не профессию, а черту характера, за которую человека запомнили соседи.

Фамилия образована по продуктивной модели: к основе Агибай добавили типичный русский суффикс -ев, указывающий на принадлежность («чей?» — Агибаев). То есть буквально фамилия означала «сын Агибая» или «из рода Агибая». Суффикс -ев, а не -ов, появляется после мягких согласных и й, что как раз и происходит в случае с Агибай.

Интересно, что фамилия Агибаев — не единственная в своём гнезде. Есть однокоренные Агибалов, Агибаловы, а также более редкие варианты с тем же корнем. Это говорит о том, что прозвище было довольно распространено в разных регионах, хоть точное место и время его возникновения сейчас установить сложно — процесс становления фамилий длился несколько столетий.

Таким образом, перед нами не просто фамилия, а отражение живого народного языка: один и тот же корень в разных говорах давал прозвища и мастеровому, и хитрецу. Потомки человека по прозвищу Агибай со временем закрепили эту память в фамилии.