Фамилия Азибаева — женская форма от Азибаев, и её разбор стоит начать с самого неочевидного: суффикса. В русских фамилиях -ев и -ов указывают на принадлежность: «чей?» — Азибаев. Но основа Азибай — это не русское, а тюркское составное имя. Оно состоит из двух корней: «ази» (в разных тюркских диалектах — «маленький», «младший», иногда «святой» или «господин») и «бай» («богатый», «хозяин», «господин»). Получается что-то вроде «младший бай» или «маленький господин» — имя-пожелание, которое давали младшему сыну в семье, подчёркивая его статус или будущее благосостояние.

Такая модель типична для тюркских народов: второе имя с корнем «бай» («богатый») было распространённым оберегом или пожеланием. В башкирском именнике «Азибай» — известное мужское имя, зафиксированное в документах XIX века. Фамилия образовалась поздно, в период массовой фиксации фамилий у нерусских народов Российской империи (конец XIX — начало XX века), когда к тюркскому имени просто приставили русский патронимический суффикс.

География фамилии указывает на Поволжье и Урал: больше всего Азибаевых среди башкир и татар. Поэтому предки носительницы фамилии — скорее всего, башкирские или татарские крестьяне и скотоводы, которые жили общинами и получили фамилию по имени отца или деда. Интересная деталь: в русской среде фамилия Азибаева могла бы звучать как «Азибаев», но окончание -а в женской форме — это чисто грамматическая норма, не меняющая смысла.

Сама основа «Азибай» встречается и как топоним: в Башкортостане есть деревня Азибаево, названная, вероятно, по имени первопоселенца. Так что географическая привязка здесь не случайна — фамилия могла возникнуть именно в том регионе, где имя Азибай было распространённым. Версия о связи с арабским «азиз» («могущественный») маловероятна: фонетически «ази» и «азиз» далеки, и тюркская модель имени с «бай» гораздо типичнее для кочевых и полукочевых народов.

Так что Азибаева — это фамилия-память о конкретном человеке, Азибае, который жил в башкирских или татарских степях и оставил своё имя в документах.