Фамилия Азимбекова — женская форма, а её основа, мужская фамилия Азимбеков, восходит к тюркскому имени Азимбек. Разберём эту конструкцию по частям, чтобы понять, что она значила для предков.

Первая часть — «Азим». Это арабское имя ‘Азим (عظيم), которое переводится как «великий», «могучий», «величайший». В исламской традиции это один из эпитетов Аллаха (аль-‘Азим), но как личное имя оно встречается у многих тюркских и кавказских народов. Вторая часть — «бек». Бек (или бий) — это тюркский титул, обозначающий князя, вождя, господина. В составе сложных имён «бек» часто прибавляли к имени, чтобы подчеркнуть знатность, благородство происхождения или дать ребёнку имя-пожелание: «господин», «повелитель».

Таким образом, имя Азимбек буквально означает «великий бек» или «могучий господин». Фамилия Азимбеков, соответственно, образована по типичной русской модели притяжательных прилагательных с суффиксом -ов: «чей?» — «Азимбеков», то есть «сын Азимбека», «потомок Азимбека». Эта модель — самая распространённая в русских фамилиях, но здесь она наложилась на нерусское имя, что типично для фамилий народов Северного Кавказа, Поволжья и Средней Азии, долгое время входивших в состав Российской империи.

Географически фамилия Азимбековы чаще всего встречается в Казахстане, Узбекистане, Киргизии, а также среди татар и башкир. В России она распространена в регионах, граничащих с Казахстаном, и на Северном Кавказе (в частности, у кумыков и ногайцев). Сословного барьера у такой фамилии не было: имя Азимбек мог носить и потомок местной аристократии, и обычный крестьянин, которому дали имя с «беком» в честь уважаемого старшего родственника. Важная деталь: в отличие от русских фамилий на -ов, где ударение часто падает на суффикс, в фамилии Азимбеков ударение почти всегда сохраняется на втором слоге основы: Ази́мбеков. Это выдает её тюркское происхождение — в этих языках ударение обычно фиксированное и падает на последний слог основы, но при русификации оно смещается. Спорных версий здесь немного: некоторые любители народной этимологии пытаются связать «Азим» с русским словом «аз» (первая буква алфавита), но это ошибка — корень здесь чисто арабский, и связь с тюркским титулом «бек» не оставляет сомнений.